Prove que para todo a ∊ R, não existe limite f(x) x→a

[Xico]

Sejam f:R → R, definida por

\(f(x) = \left\{\begin{matrix} 7 & se &x &racional \\ -7 & se &x & irracional \end{matrix}\right.\)

Prove que para todo a ∊ R, não existe \(\lim_{x\rightarrow a} f(x)\)

[Sobolev]

Existem racionais e irracionais em qualquer vizinhança de x=a, assim, pelo que a funçao assume os valores 7 e -7 em qualquer vizinhança de a. Nestas condições a definição de limite não é satisfeita... Se o limite existisse e fosse, digamos, b então para qualquer \(\varepsilon >0\) deveria existir \(\delta >0\) tal que quando \(|x-a|<\delta\) se teria \(|f(x)-b| <\varepsilon\). Ora, isso não é possível já que se deveria ter em simultâneo
\(|7-b| <\varepsilon \quad e \quad |-7+b| <\varepsilon\), isto é, b deveria estar arbotrariamente perto de 7 e de -7.