Menor valor de uma expressão (função 2grau)

[Rodrigues1964]

Se x e y são numeros reais positivos e não nulos, tais que x+1=1, calcule o menor valor que a expressão \(1+\frac{2}{xy}\) pode assumir.

[Estanislau]

x+1=1

Tem a certeza?

Explique a dificuldade.

[Baltuilhe]

Boa noite!

Rodrigues, seria \(x+y=1\)?
Neste caso, a solução seria:

Isolando uma das variáveis (y, por exemplo):
\(y=1-x\)

Agora, podemos montar uma função em x:
\(f(x)=1+\dfrac{2}{x(1-x)}\)

Analisando a função (Domínio):
\(D{=}\{x\in \mathbb{R} \setminus x \neq 0 \vee x \neq 1\}\)

Nestes pontos:
\(\lim_{x\to 0-} f(x)=-\infty
\lim_{x\to 0+} f(x)=+\infty
\lim_{x\to 1-} f(x)=+\infty
\lim_{x\to 1+} f(x)=-\infty\)

Limites no infinito:
\(\lim_{x\to-\infty} f(x)=1
\lim_{x\to+\infty} f(x)=1\)

Para obtermos (algum) menor valor da expressão, podemos derivar e igualar a zero:
\(f'(x)=(1)'+\dfrac{(2)'\cdot [x(1-x)]-2\cdot [x(1-x)]'}{[x(1-x)]^2}
f'(x)=\dfrac{-2[(x)'(1-x)+x(1-x)']}{x^2(1-x)^2}
f'(x)=\dfrac{-2[1-x+x(-1)]}{x^2(1-x)^2}
f'(x)=\dfrac{4x-2}{x^2(1-x)^2}
f'(x)=0
4x-2=0
4x=2
x=\dfrac{1}{2}\)

Analisando o sinal da derivada:
\(x<\dfrac{1}{2}\Rightarrow f'(x)<0
x>\dfrac{1}{2}\Rightarrow f'(x)>0\)

Então, como a derivada passa de negativa para positiva, \(x=\dfrac{1}{2}\) é um ponto de mínimo (local).

Calculando o menor valor (local):
\(f(x)=1+\dfrac{2}{x(1-x)}
f\left(\dfrac{1}{2}\right)=1+\dfrac{2}{\dfrac{1}{2}\cdot\left(1-\dfrac{1}{2}\right)}
f\left(\dfrac{1}{2}\right)=1+\dfrac{2}{\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}}
f\left(\dfrac{1}{2}\right)=1+\dfrac{2}{\dfrac{1}{4}}
f\left(\dfrac{1}{2}\right)=1+8
f\left(\dfrac{1}{2}\right)=9\)

Espero ter ajudado!

[Rodrigues1964]

Opa, uma pequena correção, é x+y=1 no lugar de x+1=1. A dificuldade é que esse exercício é de uma lista de função do 2grau e não entendi onde podemos resolver por meio de equação do 2grau. Estou observando sua resolução Baltuilhe. Obrigado.

[Estanislau]

Então a expressão fica \(1 + \frac{2}{x(1-x)}\), onde x ∈ (0, 1) (x < 1 para que y seja positivo). Como o denominador é positivo, é mais ou menos claro (pelo menos, para mim), que a expressão atinge o menor valor quando o denominador atingir o maior valor. Pronto, o denominador é quadrático. Encontre a ordenada do vértice e mencione que a abscissa pertence ao interval (0, 1).