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 Título da Pergunta: Arcsen 2 em Z
MensagemEnviado: 03 mar 2012, 15:31 
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Como calcular o arco cujo seno é 2 em Z.


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 Título da Pergunta: Re: Arc sen 2
MensagemEnviado: 04 mar 2012, 02:45 
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Boas

Bem vindo ao fórum

Através da fórmula logarítmica

\(\arcsin x = -i\,\ln\left(i\,x+\sqrt{1-x^2}\right)\)

Neste caso, podemos usar a fórmula acima e então:

\(\arcsin (2) = -i\,\ln\left(i {2}+\sqrt{1-{2}^2}\right)= -i\,\ln\left(i {2}+\sqrt{-3}\right)= -i\,\ln\left(i (2+\sqrt{3})\right)=-i(\ln(i) +\ln(2+\sqrt{3}))=\\
=-i(i\frac{\pi}{2} +\ln(2+\sqrt{3}))=\frac{\pi}{2}-i\ln(2+\sqrt{3})\)

Cumprimentos

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João Pimentel Ferreira
 
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 Título da Pergunta: Re: Arcsen 2 em Z
MensagemEnviado: 06 mar 2012, 21:59 
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Muito bem. Parabens!

Eu tenho isso num livro há 20 anos atrás.


Como chegar á fórmula


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 Título da Pergunta: Re: Arcsen 2 em Z
MensagemEnviado: 06 mar 2012, 22:31 
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Considere

\(\arcsin x = \theta \,\)

sabe então pela definição exponencial da função seno que:

\(\frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i} = x\)

Seja

\(k=e^{i\,\theta}. \,\)

Então

\(\frac{k-\frac{1}{k}}{2i} = x\)

\(k^2-2\,i\,k\,x-1\,=\,0\)

\(k = ix \pm \sqrt{1-x^2} = e^{i\theta} \,\)

(escolhendo o ramo positivo)

\(\theta = \arcsin x = -i \ln \left(ix + \sqrt{1-x^2}\right) \,\)

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 Título da Pergunta: Re: Arcsen 2 em Z
MensagemEnviado: 06 mar 2012, 22:48 
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Muito bem


Corri a net toda já há anos e nunca encontrei nada sobre Análise Complexa,, tinha um livro mas não abordava muito bem esta matéria. Agora encontrei outro forum estrangeiro de math a mesma resolução.


Obg.


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 Título da Pergunta: Re: Arcsen 2 em Z
MensagemEnviado: 13 mar 2012, 13:03 
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