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 Título da Pergunta: Reta tangente a uma parábola
MensagemEnviado: 05 abr 2012, 22:15 
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Boa Noite,
Queria que me ajudassem neste exercício.
Obrigada :)


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 Título da Pergunta: Re: Reta tangente a uma parábola
MensagemEnviado: 05 abr 2012, 23:41 
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Olá Mariana :)

A função \(g(x)=-x^2+2x+3\) é representada graficamente então por uma parábola, ou seja é uma função quadrática

Repara Mariana que se a reta em apreço for tangente á parábola, ela só toca na parábola em UM único ponto, ou seja se cruzarmos os dois gráficos (reta e parábola) só há um único ponto comum. Haver graficamente um único ponto comum significa que analiticamente e equação que iguala as duas expressões tem UMA única solução.

Ou seja, para que a reta seja tangente à parábola, esta equação

\(g(x)=y(x)\)

só pode ter UMA única solução

Vamos resolver então:

\(-x^2+2x+3=-2x+7\)

\(-x^2+2x+3+2x-7=0\)

\(-x^2+4x-4=0\)

Vamos achar os zeros dessa equação pela fórmula resolvente:

\(x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)

Neste caso \(a=-1\), \(b=4\) e \(c=-4\)

Então:

\(x=\frac{-4\pm \sqrt{4^2-4(-1)(-4)}}{2\times (-1)}\)

\(x=\frac{-2\pm \sqrt{16-16}}{2\times (-1)}\)

\(x=\frac{-2\pm \sqrt{0}}{2\times (-1)}\)

\(x=\frac{-2\pm 0}{-2}\)

\(x=\frac{-2}{-2}\)

\(x=1\)

UMA ÚNICA solução (não tem duas)

Assim, é verdade que a reta é tangente à parábola

Para acharmos o ponto já sabemos que \(x=1\) basta achar o \(y\) através da reta

\(y=-2\times(1)+7=5\)

Assim o ponto é \((x,y)=(1,5)\)

Volta sempre Mariana :)

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João Pimentel Ferreira
 
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 Título da Pergunta: Re: Reta tangente a uma parábola
MensagemEnviado: 06 abr 2012, 01:41 
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João pimentel estava revendo sua ótima resolução desta questão e fiz os cálculos e em meus cálculos encontrei o valor de x=2 e y= 3

Se eu estiver errado desculpe-me.....
obrigado pela atenção!


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 Título da Pergunta: Re: Reta tangente a uma parábola
MensagemEnviado: 06 abr 2012, 11:19 
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Caro Leonardo

Muito obrigado, tem toda a razão, mea culpa :)

Mariana, fiz um erro na solução anterior, então é:

\(x=\frac{-4\pm \sqrt{4^2-4(-1)(-4)}}{2\times (-1)}\)

\(x=\frac{-4\pm \sqrt{16-16}}{2\times (-1)}\)

\(x=\frac{-4\pm \sqrt{0}}{2\times (-1)}\)

\(x=\frac{-4\pm 0}{-2}\)

\(x=\frac{-4}{-2}\)

\(x=2\)

UMA ÚNICA solução (não tem duas)

Assim, é verdade que a reta é tangente à parábola

Para acharmos o ponto já sabemos que \(x=2\) basta achar o \(y\) através da reta

\(y=-2\times(2)+{7}={3}\)

Assim o ponto é \((x,y)=(2,3)\)

Mariana, podes ver os gráficos aqui e ter uma perceção mais intuititva do que se trata

Muito obrigado caro Leonardo

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