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Como eu sei que esta função \(\\\\ \frac{2xy^{2}}{x^{2}+y^{4}}\) é limitada ?
já tentei fazer por coodernadas polares mas não conseguir.

Cumprimentos a todos que responderem.

att mais .

Se não estou a raciocinar mal este problema atinge o seu máximo quando \(x = y^2\).

Pense num quadrado(não é a potência! É mesmo o polígono de 4 lados) de lado \(x + y^2\) com um vértice("canto inferior esquerdo") na origem dum referencial cartesiano típico(ortonormado).
A aresta inferior do quadrado coincide com o eixo das abcissas(dos "x").
Agora trace a diagonal deste quadrado, desde o canto coincidente com a origem do referencial até ao canto oposto do quadrado.
Qualquer que seja o ponto de coordendas(x,x)considerado sobre esta diagonal, a soma das áreas do quadrado de lado x com aquela do quadrado formado pelo ponto(x,x) até ao ponto \((x+y^2, x+y^2)\), é sempre pelo menos igual à área dos rectângulos que sobram para formarem o quadrado de lado ( x+y^2).

Agora como qualquer proporção entre "x" e "y" é representável por este esquema/figura, consegue-se perceber como o ratio da divisão em causa é limitado e nunca ultrapassa 1.

npl,obrigado por responder.

Mas teria algum meio mais algébrico de encontrar a imagem desta função?

Duas ideias que me ocorrem imediatamente,
calcular os máximos/mínimos pela forma standard(igualar as derivadas parciais a zero e depois continuar analisar as segundas derivadas para ver se se tratam realmente de máximos/mínimos) combinando possivelmente com a substituição de uma das variáveis por um múltiplo(digamos K)da outra variável.
Obrigar essa substituição a percorrer(possivelmente em coordenadas polares) toda a circunferência à volta da origem com um dado raio.
Tentar posteriormente compreender o que acontece quando o raio dessa circunferência varia, tende para zero ou tende para mais infinito.
Só ideias.

npl Escreveu:Duas ideias que me ocorrem imediatamente,
calcular os máximos/mínimos pela forma standard(igualar as derivadas parciais a zero e depois continuar analisar as segundas derivadas para ver se se tratam realmente de máximos/mínimos) combinando possivelmente com a substituição de uma das variáveis por um múltiplo(digamos K)da outra variável.
Obrigar essa substituição a percorrer(possivelmente em coordenadas polares) toda a circunferência à volta da origem com um dado raio.
Tentar posteriormente compreender o que acontece quando o raio dessa circunferência varia, tende para zero ou tende para mais infinito.
Só ideias.

obrigado npl pela sua ajuda.

conseguir fazer de um meio bem algébrico:

\(\\\\ f(x,y)=\frac{2xy^{2}}{x^{2}+y^{4}}\\\\\)
\(\\\\ k=\frac{2xy^{2}}{x^{2}+y^{4}}\)

fazendo k=0, temos x=0 ou y=0.

fazendo k#0 temos:

\(\\\\ x^{2}k-2xy^{2}+y^{4}k=0 \\\\ x=\frac{2y^{2}\pm \sqrt{4y^{4}-4y^{4}k}}{2k} \\\\ x=y^{2}*\frac{1\pm \sqrt{1-k}}{k}\)

daí temos que -1<k<1 por causa do domínio da função.então a imagem da função é \(\\\\ Im(f)=[-1,1]\)

Cumprimentos

Man Utd Escreveu:fazendo k=0, temos x=0 e y=0.

Atenção que se trata duma indeterminação tipo 0/0 !
Analisou o limite de acordo com as diferentes rotas de aproximação à origem Man Utd?

Eu ía calculá-las antes de escrever este post, mas ainda não arranjei disponibilidade para fazê-lo.
Cumprimentos,
NPL.

npl Escreveu:

Man Utd Escreveu:fazendo k=0, temos x=0 e y=0.

Atenção que se trata duma indeterminação tipo 0/0 !
Analisou o limite de acordo com as diferentes rotas de aproximação à origem Man Utd?

Eu ía calculá-las antes de escrever este post, mas ainda não arranjei disponibilidade para fazê-lo.
Cumprimentos,
NPL.

Obrigado pelo aviso,eu errei na hora de digitar no lugar do "e" seria "ou".

mais uma vez obrigado,se tiver mais alguma coisa errada pode me avisar.

Man Utd Escreveu:

npl Escreveu:

Man Utd Escreveu:fazendo k=0, temos x=0 e y=0.

Atenção que se trata duma indeterminação tipo 0/0 !
Analisou o limite de acordo com as diferentes rotas de aproximação à origem Man Utd?

Eu ía calculá-las antes de escrever este post, mas ainda não arranjei disponibilidade para fazê-lo.
Cumprimentos,
NPL.

Obrigado pelo aviso,eu errei na hora de digitar no lugar do "e" seria "ou".

mais uma vez obrigado,se tiver mais alguma coisa errada pode me avisar.

Man Utd
esse "ou" é exclusivo, isto é, quando a função se anula, não podem ambas as variáveis "x" e "y" ser simultaneamente nulas.

Pense na rota de aproximação à origem definida pela curva \(Y=\sqrt(x)\) e calcule o seu limite para saber que valor a função toma na origem (se a analisarmos por essa rota de aproximação)!
Depois calcule para outras rotas de aproximação.
A que conclusões chega?
Cumprimentos,
NPL.

Man Utd
esse "ou" é exclusivo, isto é, quando a função se anula, não podem ambas as variáveis "x" e "y" ser simultaneamente nulas.

Pense na rota de aproximação à origem definida pela curva e calcule o seu limite para saber que valor a função toma na origem (se a analisarmos por essa rota de aproximação)!
Depois calcule para outras rotas de aproximação.
A que conclusões chega?
Cumprimentos,
NPL.

olá amigo npl, quando eu escrevi "ou" eu sabia que era exclusivo,já que elas não podem ser nulas,senão teriamos indeterminação.

Eu não posso deixar a minha resolução do jeito que está,por que eu precisaria calcular limites já que achei a imagem?
att e obrigado pela paciência.

cumprimentos

Man Utd Escreveu:por que eu precisaria calcular limites já que achei a imagem?

Caro Man Utd
podia então me dizer qual é então a imagem do ponto (0,0) por favor?

Enviei-lhe uma mensagem privada, se puder responder fico-lhe grato.
Cordialmente,
NPL.