Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Eu só quero saber quando a função de segundo grau é injetora ou sobrejetora ou as duas ao mesmo tempo= bijetora
Preciso de vários exemplos alguém pode me ajudar? se tiver exemplos e eqação de 2 grau par ou impar tambem vai ajudar
abração

FUNÇÃO INJETORA:

Dizemos que uma função \(f : A \rightarrow B\) é injetora quando para quaisquer elementos \(x_1\) e \(x_2\) de \(A\), \(f(x_1) = f(x_2)\) implica \(x_1 = x_2\). Em outras palavras, quando \(x_1 \neq x_2\), em \(A\), implica \(f(x_1) \neq f(x_2)\).

Exemplo:
A função afim \(f(x) = ax + b\) com \(a \neq 0\), é injetora.

Resp.
Se a função é injetora, então de acordo com a definição temos \(f(x_1) = f(x_2)\)

Segue que

\(ax_1 + b = ax_2 + b\)

\(ax_1 = ax_2\)

\(\fbox{x_1 = x_2}\)


FUNÇÃO SOBREJETORA:

Dizemos que uma função \(f : A \rightarrow B\) é sobrejetora quando para todo \(y \in B\), existe pelo menos um \(x \in A\) tal que \(f(x) = y\).

Exemplo:
A função afim \(f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) definida por \(f(x) = ax + b\) com \(a \neq 0\), é sobrejetora.

Resp.
De acordo com a definição, temos \(f(x) = y\).

Se \(y \in \mathbb{R}\), então:

\(y = ax + b\)

\(y - b = ax\)

\(x = \frac{y - b}{a}\)

Substituindo

\(f(x) = ax + b\)

\(f(x) = a \times \frac{y - b}{a} + b\)

\(f(x) = y - b + b\)

\(\fbox{f(x) = y}\)


FUNÇÃO BIJETORA:

Uma função \(f : A \rightarrow B\) chama-se bijetora (ou bijetiva) quando é injetora e sobrejetora ao mesmo tempo.

Espero ter ajudado!

_________________
Daniel Ferreira
_{se gosta da resposta,
RESPONDA A QUEM PRECISA}

Preciso de exemplos em equações de segundo grau.... Grato

Considerando uma função \(f:A \to B\) tal que \(f = x^2\)

Se \(A = R\), o conjunto de todos os números reais, não é injetiva, porque, por exemplo para \(y=1\) temos \(x_1=-1\) e \(x_2 = 1\) e são diferentes.
Se restringimos \(A\) a \(R_0^+\), aí é injetiva.

Já no caso de função sobrejetiva, queremos que \(f(A)=B\), ou seja, aplicando \(f\)a TODOS os pontos de \(A\)consigamos obter TODOS os pontos de \(B\).

Consideremos a mesma função, \(f=x^2\)
Se \(B\) é definido como \(R\), o conjunto dos números reais, ela não é sobrejetiva, porque não conseguimos arranjar \(x\) tal que \(f(x)\) seja um número negativo.
mas se \(B\) for \(R_0^+\) aí a função já é sobrejetiva, sendo A todos os números reais, porque para qualquer valor \(y \in B\) conseguimos encontrar um \(x \in A\) tal que \(f(x)=y\). Nesta caso, \(x=\sqrt{y}\)

Para ser injetiva e sobrejetiva, \(A = R_0^+\) e \(B = R_0^+\), para esta função.

_________________
José Sousa
_{se gostou da resposta, divulgue o fórumdematemática.org}

O Binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo.
O que há é pouca gente para dar por isso.

óóóó---óóóóóó óóó---óóóóóóó óóóóóóóó
(O vento lá fora.)

Álvaro de Campos, 15-1-1928