Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Olá, estou tentando resolver o seguinte problema, porém não sei como proceder com o sistema, alguém poderia me dar uma luz? Grato.

Dada a função
y={x²-4 se x<3
{2x-1 se x ≥3

faça o que se pede:

a) Quais as raízes da função?
b) Qual a imagem de 1? E a imagem de 5?
c) Construa o gráfico da função.
d) Determine seu domínio e sua imagem.

Não se trata de um sistema, a função apenas se encontra definida por ramos, isto é, a expressão da função é diferente consoante x seja menor que 3 ou superior ou igual a 3.

Por exemplo, em relação à primeira questão (zeros), devemos analisar separadamente ambos os ramos:

1. x < 3
Neste caso temos \(y = x^2-4\), que se anula se x = -2 ou x = 2, sendo ambas as soluções admissívies, já que são ambas inferiores a 3.

2. \(x \ge 3\)
Neste caso \(y = 2x-1\), que se anula se x =1/2, que não é uma solução admissível, já que não é superior ou igual a 3.

Assim a função tem dois zeros, x = -2 e x=2 que, por coincidência, se encontram ambos no primeiro ramo de definição da função.

Entendi! Obrigado! Agora, na questão b, devo substituir o x de qual dos dois ramos da função? No caso seria correto eu substituir 1 e 5 em x²-4 para encontrar as respectivas imagens?
assim:
y=1²-4
y=-3
e
y=5²-4
y=21

Desculpe a ignorancia, mas como determino o dominio e a imagem da funçao? (não é apenas depois de determiná-los que poderei construir o gráfico?)

Obrigado!

Não...

As imagens de números menores do que 3 são calculadas usando o primeiro ramo, por isso f(1)=1^2-4 = -3. No entanto, como as imagens de números maiores ou iguais que 3 são calculadas usando o segundo ramo, temos f(5)=2*5-1 = 9.

O domínio é o conjunto de pontos para os quais estão definidas imagens. Como tanto para x<3 como para x >=3 temos forma de calcular a imagem (trata-se de polinómios) concluímos que o domínio é toda a recta real.

Em relação ao gráfico tem apenas que para x<3 desenhar a parábola e para x>=3 desenhar a recta.