Fórum de Matemática
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Bom dia pessoas. To com uma dúvida quanto a mostrar a imagem de uma função, tenho prova de calculo na segunda e não sei exatamente como mostrar. É claro que eu n estou falando de intuição, pois na maioria das vezes é fácil perceber qual a imagem da função...
Mas quando é pra provar que uma função é bijetora eu provo que ela é injetora, e não sei como provar que é sobrejetora.
Estou fazendo o seguinte, sabendo que \(D(f^{-1})=Im(f)\) então depois de provar que ela é injetora eu suponho que ela é sobrejetora, faço a inversa, depois comparo o domínio da inversa com o contradomínio de f. O problema é que me falaram que eu n poderia fazer isso, mas n me disseram o motivo. Pensando sobre isso me parece que funciona pois caso f não seja sobrejetora, quando eu fazer \(f^{-1}\) e comparar o domínio com o contra domínio os dois não serão iguais, então eu estaria chegando a um absurdo. Alguém pode me dizer porque essa prova está errada? Se estiver, poderia me mostrar qual o jeito certo de demonstrar a imagem de uma função?

Vou deixar como exemplo uma função pra alguém mostrar a imagem e se é ou não sobrejetora caso esse método que eu utilizo esteja errado.

f uma função com domínio ]-1,1[ e contra domínio o conjunto dos reais, definida por:
\(f(x)=\frac{x}{1-|x|}\)

Agradeço pela atenção.

Olá. O grande problema com o argumento \(D(f^{-1})=Im(f)\) é que nem sempre o domínio de \(f^{-1}\) coincide com o domínio da expressão que define a função*. Se tomarmos, por exemplo, \(f:[0,+\infty [ \longrightarrow \mathbb{R} , x\mapsto \sqrt{x}\) a sua inversa tem como expressão \(f^{-1}(x)=x^2\). A expressão \(x^2\) tem domínio \(\mathbb{R}\), no entanto a função inversa \(f^{-1}\) só está definida em \([0,+\infty [\) (que é a imagem de \(f\)).

No caso do exemplo que dá, \(f:]-1,1[ \longrightarrow \mathbb{R} , x\mapsto \frac{x}{1-|x|}\) e em muitos outros exemplos de funções contínuas pode-se usar o teorema de Bolzano. Calcula-se os limites de \(f\) nas extremidades do intervalo, \(\lim_{x\to -1^+}f(x)=-\infty\) (exercício) e \(\lim_{x\to 1^-}f(x)=+\infty\) (exercício) e, por continuidade de f em ]-1,1[, f toma todos os valores de \(-\infty\) a \(+\infty\). Ou seja, \(f\) é sobrejetora (ou sobrejectiva em português pt) em \(\mathbb{R}\).



* Em geral uma função não é definida apenas pela expressão de f(x), há que definir também o conjunto de partida (o domínio) e o conjunto de chegada (contradomínio). Por exemplo, a função \(f:[0,1] \longrightarrow [0,1] , x\mapsto x^2\) é diferente da função \(f:\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} , x\mapsto x^2\).

Desculpa a demora, não deu pra responder ontem.
Obrigado, sua resposta me ajudou muito, dei uma olhada no Bolzano, pelo que entendi eu posso usá-lo sempre que a função for contínua, é isso?
Também vi que pelo fato do intervalo ser aberto você usou o limite lateral apenas pelo lado que a função é definida, no caso se fosse intervalo fechado eu teria que usar o limite dos dois lados, provando que existe limite em cada extremidade, é isso? rsrs
E sem querer abusar, alguns exercícios da lista é pra mostrar que a função é diferenciável. Como ele ainda não deu derivada, eu só preciso mostrar que a função é contínua, ou então aplicar um dos limites [lim f(x+h) h--->0 ou lim f(x)-f(a) x--->a], é isso mesmo?
Muito obrigado.