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Mostre que se \(X\subset \mathbb{R}\) não é enumerável, então \(X\cap X'\neq Vazio\).

Tentei fazer assim:
RESPOSTA:

Se X não é enumerável, então nem todos os pontos de X são isolados. Então existe algum ponto de X que é ponto de acumulação, logo X' é diferente do vazio. Seja a o ponto de acumulação de X, então todo intervalo aberto (a - &, a + &) , de centro a, contem algum x que pertence a X e diferente de a.
Se o elemento pertence a X e a X', então pertence a interseção de X e X', e por esse motivo a interseção não pode ser vazia.
Tenho que organizar melhor e mostrar por que "Se X não é enumerável, então nem todos os pontos de X são isolados"????

Sim, porque é isso que se pretende de facto (os pontos de X ou são isolados ou são pontos de acumulação, logo \(X\cap X'\not=\emptyset\) se e só se nem todos os pontos de X são pontos isolados). Todo o raciocínio que vem depois é desnecessário (para além de incompleto, quando diz «Se o elemento pertence a X e a X', então pertence a interseção de X e X'» a pergunta que fica é: e se o elemento não pertence a X'?)

Para mostrar que num conjunto X não enumerável nem todos os pontos são isolados basta mostrar que o conjunto dos pontos isolados, \(X_{iso}=X\setminus X'\), é enumerável. Seja \(X_n=\left\{a\in X:\left]a-\frac{1}{n},a+\frac{1}{n}\right[\cap X=\{a\}\right\}\), então \(X_{iso}=\bigcup_{n\in\mathbb{N}_1}X_n\). Logo se mostrarmos que \(X_n\) é enumerável para todo o \(n\in \mathbb{N}\) então \(X_{iso}\) é também enumerável pois é uma união enumerável de enumeráveis. Para mostrar que \(X_n\) é enumerável basta ver que, para qualquer \(k\in\mathbb{Z}\), \(X_{n,k}=X_n\cap \left[\frac{k}{n},\frac{k+1}{n}\right[\) é finito e portanto \(X_n=\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}X_{n,k}\) é enumerável por ser uma união enumerável de conjuntos finitos. Por definição de \(X_n\) é claro que \(X_{n,k}=X_n\cap \left[\frac{k}{n},\frac{k+1}{n}\right[\) tem no máximo um elemento e portanto é finito (se existe \(a\in X_{n,k}\) então \(X_{n,k}\subset\left]a-\frac{1}{n},a+\frac{1}{n}\right[\) e como tal \(X_{n,k}=\{a\}\)).