Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Boa tarde, amigos buscadores do conhecimento.

É minha primeira vez aqui nesse fórum, achei muito legal a ideia, e espero que as coisas sejam bem dinâmicas aqui. Mas, prosseguindo com a dúvida:

Estava resolvendo a seguinte questão de uma prova quando me surpreendi com o resultado (imagem).

Se possível for me explicar o porquê, agradeceria. Mas, ainda assim, gostaria de saber se é verdadeiro afirmar se "quando se trata de função, posso ter raízes negativas, mas, quando se trata de equação, posso somente ter raízes positivas".

Agradeço desde já.

Em equações em que o domínio está restrito, deve-se sempre calcular o domínio e se necessário o contradomínio. Portanto é o que vamos calcular.
Seja:

\(f(x)=\sqrt{\frac{1-x}{2}}
g(x)=x\)

\(D_f=\left \{ x\in \mathbb{R}:\frac{1-x}{2}\geq 0 \right \}=]-\infty ,1]
D'_f=[0,+\infty [=\mathbb{R}_0^+\)
A raiz de um número dará um número real positivo ou 0, portanto o contradomínio será \(\mathbb{R}_0^+\)

\(D_g=\mathbb{R}
D'_g=\mathbb{R}\)

Quando se coloca uma igualdade nas duas funções (ponto de interceção) o conjunto solução estará restrito à interceção dos dois domínios e contradomínios.

\(S=D_f\: \cap \: D_g=]-\infty ,1]\: \cap \: \mathbb{R}=]-\infty ,1]
S'=D'_f\: \cap \: D'_g=[0,+\infty [\: \cap \: \mathbb{R}=[0,+\infty [\)

Então x vai poder variar de:
\(-\infty\leq x\leq 1 \wedge 0\leq g(x)\leq +\infty
-\infty\leq x\leq 1 \wedge 0\leq x\leq +\infty
0\leq x\leq 1\)

A solução desta equação tem de pertencer ao intervalo \([0,1]\), portanto -1 não pode pertencer ao conjunto solução