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Discutir, segundo valores de m, o número de pontos fixos da função de R em R, definida por:

\(f(x)=mx^2+1\)

Os pontos fixos de f são as soluções da equação \(f(x)=x\). Ora,

\(mx^2+1=x \Leftrightarrow x = \frac{1\pm \sqrt{1-4m}}{2m}\)

Assim, se \(1-4m >0 \Leftrightarrow m < 1/4\) teremos duas soluções da equação e por isso dois pontos fixos. Se \(1-4m =0 \Leftrightarrow m = 1/4\) a equação apenas tem uma solução e por isso apenas temos um ponto fixo. Finalmente, se m > 1/4 a equação não tem raizes reais e por isso não existem pontos fixos de f.

Muito obrigado pela ajuda!