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A função é contínua em zero .De fato , dado \(\epsilon > 0\) arbitrariamente , tome \(\delta = \epsilon\) . Para todo \(x \in \mathbb{R}\) ,se
\(|x - 0| = |x| < \delta\) então \(|f(x) - f(0)| = |f(x)| = |x| < \epsilon\) . Mas , a função é descontínua em todos os demais pontos .
Proceda assim , fixe um \(x_0\) real não nulo .Trabalhe em dois casos :
i) x_0 racional
ii) x_0 irracional
O raciocínio é o mesmo . (Tu notará !)
No caso i) , vc pode a principio ,p/ fixar ideias , assumir \(x_0\) positivo . Neste caso, tu deve propor um \(\epsilon_0 > 0\) (pense sobre isso !) tal que o intervalo \((f(x_0) - \epsilon_0 , f(x_0) + \epsilon_0 ) = (x_0 - \epsilon , x_0 + \epsilon_0 ) \subset (0, +\infty)\) . Agora dado qualquer \(\delta > 0\) , certamente o intervalo \((x_0 - \delta , x_0 + \delta )\) contém números irracionais , pela densidade de \(\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\) em \(\mathbb{R}\) . Daí , existe um número irracional positivo (pq existe um positivo ? ) \(x_{\delta} \in (x_0 - \delta , x_0 + \delta )\) . Mas , \(f(x_{\delta}) = - x_{\delta} < 0 \rightarrow f(x_{\delta}) \notin (x_0 - \epsilon , x_0 + \epsilon_0 )\) .
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