Dúvida sobre derivação em um ponto.

[hfliv]

Questão: Determinar a e b de forma que f(x) seja derivável.

f(x) = x² , se x<1
ax+b , se x>=1

Eu sei que uma função é derivável em todos os seus pontos e é contínua. Analisando a primeira condição, a resposta que eu tenho aqui diz que x=1 pode ser um "problema" para a funçao ser derivável em todos os pontos. Não entendi o porque, na verdade ainda estou confuso com essa noção de quando é derivada ou não, então se alguém puder ajudar... O que determina que ela seja derivada em todos os pontos, e que tenha 1 como provável ponto problema? Obrigado!

[Baltuilhe]

Boa noite!

Se a função é derivável em todos os pontos ela tem a mesma derivada tanto à esquerda quanto à direita.
No ponto x=1 (que é o ponto onde existe a transição de funções) temos de obter isto.
Para \(f(x)=x^2\) temos que a derivada é \(f'(x)=2x\).
Em \(x=1 \Rightarrow f'(1)=2(1)=2\)
Ou seja, a inclinação vale 2.
Na outra função \(f(x)=ax+b\) teremos \(f'(x)=a\)
Então: \(f'(1)=a=2\), então a=2
Como a função também tem que ser contínua:
\(f(1){=}1^2{=}1\)
Na outra função:
\(f(1)=ax+b=2(1)+b=1
2+b=1
b=-1\)

Então:

\(a=2\text{ e }b=-1\)

Espero ter ajudado!

[hfliv]

Poxa, muito obrigado! Clareou as coisas aqui pra mim. Abraço!