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Prove que o limite a seguir é 1/2:

lim\(\lim_{x->1}\frac{\sqrt{x}-1}{x-1}\)


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MensagemEnviado: 18 Oct 2015, 22:12 
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Note que \(\frac{\sqrt{x} -1}{x-1} = \frac{1}{\sqrt{x} + 1}\) , e

\(\frac{1}{\sqrt{x} + 1} - \frac{1}{2} = \frac{2 - \sqrt{x} -1 }{2(\sqrt{x} + 1)} = \frac{1 - \sqrt{x}}{2(\sqrt{x} + 1} = \frac{1 -x }{2(\sqrt{x} +1)^2 }\) .


Portanto , \(| \frac{\sqrt{x} -1}{x-1} - \frac{1}{2} | = \frac{1}{2} \cdot |x-1| \cdot \frac{1}{(\sqrt{x} +1)^2}\) .

Veja também que para quaisquer \(x \geq 0 : \frac{1}{(\sqrt{x} +1)^2} \leq 1\) (pq ?? )

Temos assim p/ todo \(x \geq 0 , x \neq 1\)


\(\frac{\sqrt{x} -1}{x-1} - \frac{1}{2} | \leq \frac{1}{2} |x-1|\)

Tente concluir ...


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MensagemEnviado: 19 Oct 2015, 02:00 
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Obrigado. :)


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