Função inversa envolvendo preço e quantidade

[jorgeluis]

FUNCERN/IFRN-2015) A Loja Alfa encomendou uma pesquisa de mercado sobre a venda de seus produtos. Em relação ao produto Beta, a pesquisa concluiu que a cada real que baixasse no preço de um certo produto, a Loja Alfa conseguiria um aumento mensal de 40 unidades vendidas. Atualmente, o preço de venda do produto Beta é de R$ 42,00 por unidade, produzindo uma receita mensal de R$ 16.800,00.

De acordo com esse estudo, a loja Alfa conseguirá, com o produto Beta, a máxima receita se o preço unitário for de:

[Baltuilhe]

Boa tarde!

Preço por unidade = x
Unidades vendidas = y

Calculando as unidades vendidas quando o preço por unidade é de R$ 42,00 e a receita mensal de R$ 16.800,00
\(y=\frac{16800}{42}
y=400\)

Calculando, agora, a 'quantidade inicial' vendida (a R$ 0,00). Como a cada real a menos compra-se 40 unidades a mais, temos:
400+42x40=2080

Agora vamos montar a equação:
\(R(x)=x(2080-40x)
R(x)=2080x-40x^2
R(x)=-40x^2+2080x\)

Para obter o ponto de receita máxima:
\(R'(x){=}-80x+2080
R'(x){=}0
-80x+2080{=}0
x{=}\frac{2080}{80}
x{=}26\)

Então, para maximizar a receita, temos que reduzir o preço para R$ 26,00.

Espero ter ajudado!

[jorgeluis]

quantidade(q) do produto beta: 16800=42q q=16800/42 q=400

f(x) = 16800 definida por: f(x) = 400x onde x=preço unitario

se, o preço é inversamente proporcional a quantidade, ou seja, diminuindo o preço a cada unidade, aumenta a quantidade em quarenta unidades, podemos escrever:

f(x)=(42-x).(400+40x) onde x representa a reduçao do preço em unidades

logo,
16800=16800+1680x-400x-40x²
-40x²+1280x=0 dividindo tudo por 40 fica
-x²+32x=0

o ponto máximo da parábola (receita máxima) é dado pelas coordenadas do vértice: x= -b/2a e y=-\(\Delta\) /4a
x=-16 e y=240
logo,
a redução máxima do preço é: 42 -16 = 26