Boa tarde!
a) Montando as equações para as iterações: \(\begin{cases}x_1^{(k+1)}=\frac{200-4x_2^{(k)}+3x_3^{(k)}}{13}\\ x_2^{(k+1)}=\frac{300-2x_1^{(k)}-2x_3^{(k)}}{15}\\ x_3^{(k+1)}=\frac{400-3x_1^{(k)}+2x_2^{(k)}}{40}\end{cases}\)
Para primeiro valor (na iteração zero): \(x_1=\frac{200}{13}=15,385 x_2=\frac{300}{15}=20,000 x_3=\frac{400}{40}=10,000\)
Iteração 1: \(x_1=\frac{200-4(20)+3(10)}{13}=11,538 x_2=\frac{300-2(15,385)-2(10)}{15}=16,615 x_3=\frac{400-3(15,385)+2(20)}{40}=9,846\)
Erro 1: \(\Delta{x_1}=11,538-15,385=-3,847 \Delta{x_2}=16,615-20,000=-3,385 \Delta{x_3}=9,846-10,000=-0,154 Erro=\frac{3,847}{16,615}=0,232>0,001\)
Iteração 2: \(x_1=\frac{200-4(16,615)+3(9,846)}{13}=12,544 x_2=\frac{300-2(11,538)-2(9,846)}{15}=17,149 x_3=\frac{400-3(11,538)+2(16,615)}{40}=9,965\)
Erro 2: \(\Delta{x_1}{=}12,544-11,538{=}1,006 \Delta{x_2}{=}17,149-16,615{=}0,534 \Delta{x_3}{=}9,965-9,846{=}0,119 Erro{=}\frac{1,006}{17,149}{=}0,059>0,001\)
Iteração 3: \(x_1=\frac{200-4(17,149)+3(9,965)}{13}=12,408 x_2=\frac{300-2(12,544)-2(9,965)}{15}=16,999 x_3=\frac{400-3(12,544)+2(17,149)}{40}=9,917\)
Erro 3: \(\Delta{x_1}=12,408-12,544=-0,136 \Delta{x_2}=16,999-17,149=-0,150 \Delta{x_3}=9,917-9,965=-0,048 Erro=\frac{0,150}{16,999}=0,009>0,001\)
Iteração 4: \(x_1=\frac{200-4(16,999)+3(9,917)}{13}=12,443 x_2=\frac{300-2(12,408)-2(9,917)}{15}=17,023 x_3=\frac{400-3(12,408)+2(16,999)}{40}=9,919\)
Erro 4: \(\Delta{x_1}=12,443-12,408=0,035 \Delta{x_2}=17,023-16,999=0,024 \Delta{x_3}=9,919-9,917=0,002 Erro=\frac{0,035}{17,023}=0,002>0,001\)
Iteração 5: \(x_1=\frac{200-4(17,023)+3(9,919)}{13}=12,436 x_2=\frac{300-2(12,443)-2(9,919)}{15}=17,018 x_3=\frac{400-3(12,443)+2(17,023)}{40}=9,918\)
Erro 5: \(\Delta{x_1}=12,436-12,443=-0,007 \Delta{x_2}=17,018-17,023=-0,005 \Delta{x_3}=9,918-9,919=-0,001 Erro=\frac{0,007}{17,018}=0,0004<0,001\)
Satisfaz o erro solicitado!
b) As equações para realizarmos as iterações são as mesmas. O que muda é que a cada resultado novo já o utilizamos na equação seguinte caso seja necessário.
Utilizaremos os mesmos valores para a iteração zero: \(x_1=\frac{200}{13}=15,385 x_2=\frac{300}{15}=20,000 x_3=\frac{400}{40}=10,000\)
Iteração 1: \(x_1=\frac{200-4(20)+3(10)}{13}=11,538 x_2=\frac{300-2(11,538)-2(10)}{15}=17,128 x_3=\frac{400-3(11,538)+2(17,128)}{40}=9,991\)
Erro 1: \(\Delta{x_1}=11,538-15,385=-3,847 \Delta{x_2}=17,128-20,000=-2,872 \Delta{x_3}=9,991-10,000=-0,009 Erro=\frac{3,847}{17,128}=0,225>0,001\)
Iteração 2: \(x_1=\frac{200-4(11,538)+3(9,991)}{13}=12,420 x_2=\frac{300-2(12,420)-2(9,991)}{15}=17,012 x_3=\frac{400-3(12,420)+2(17,012)}{40}=9,919\)
Erro 2: \(\Delta{x_1}=12,420-11,538=0,882 \Delta{x_2}=17,012-17,128=0,116 \Delta{x_3}=9,919-9,991=0,072 Erro=\frac{0,882}{17,012}=0,052>0,001\)
Iteração 3: \(x_1=\frac{200-4(12,420)+3(9,919)}{13}=12,439 x_2=\frac{300-2(12,439)-2(9,919)}{15}=17,019 x_3=\frac{400-3(12,439)+2(17,019)}{40}=9,918\)
Erro 3: \(\Delta{x_1}=12,439-12,420=0,019 \Delta{x_2}=17,019-17,012=0,007 \Delta{x_3}=9,918-9,919=-0,001 Erro=\frac{0,019}{17,019}=0,001>0,001\)
Iteração 4: \(x_1=\frac{200-4(12,439)+3(9,918)}{13}=12,437 x_2=\frac{300-2(12,437)-2(9,918)}{15}=17,019 x_3=\frac{400-3(12,437)+2(17,019)}{40}=9,918\)
Erro 4: \(\Delta{x_1}=12,437-12,439=0,002 \Delta{x_2}=17,019-17,019=0,000 \Delta{x_3}=9,918-9,918=0,000 Erro=\frac{0,002}{17,019}=0,0001<0,001\)
Satisfaz o erro solicitado!
Espero ter ajudado!
_________________ Baltuilhe "Nós somos o que fazemos repetidamente. Excelência, então, não é um modo de agir, é um hábito." Aristóteles
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