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| Precisa PROVAR. Progressão Aritmética (PA) - Fundamentos de matemática elementar vol. 4 (ex. D20) https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=22&t=13033 |
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| Autor: | Analisador [ 22 ago 2017, 22:25 ] |
| Título da Pergunta: | Precisa PROVAR. Progressão Aritmética (PA) - Fundamentos de matemática elementar vol. 4 (ex. D20) |
Meus caros, qual a sacada inicial que devo possuir ao olhar um exercício deste: D20- provar que se \((\frac{1}{x+y}, \frac{1}{y+z}, \frac{1}{z+x})\) é uma PA, então (z², x², y²) também é. PS: Não precisa da resolução completa, mas queria saber qual a forma inicial correta de montar, e como você chega a esta conclusão só olhando para este exercício, em outras palavras, qual o PADRÃO ou macetes que devo adquirir (a nível de ensino médio) para resolver exercícios que necessitem provar! |
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| Autor: | Rui Carpentier [ 22 ago 2017, 22:32 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Precisa PROVAR. Progressão Aritmética (PA) - Fundamentos de matemática elementar vol. 4 (ex. D20) |
Sugestão: (a,b,c) é uma PA se e só se b-a=c-b, ou seja, 2b=a+c. |
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| Autor: | Analisador [ 23 ago 2017, 16:23 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Precisa PROVAR. Progressão Aritmética (PA) - Fundamentos de matemática elementar vol. 4 (ex. D20) |
Rui Carpentier Escreveu: Sugestão: (a,b,c) é uma PA se e só se b-a=c-b, ou seja, 2b=a+c. Boa noite, Rui! Seguindo sua sugestão, tenho: \(I) \frac{2}{y+z}= \frac{1}{x+y} + \frac{1}{x+z} \therefore \frac{2}{y+z}= \frac{2x+y+z}{(x+y)(x+z)}\) \(II) 2x^{2}=y^{2}+z^{2}\) Resolvendo em I: \((2x+2y)(x+z)= (y+z)(2x+y+z) \Rightarrow 2x^{2}+2xz+2xy+2yz=2xy+y^{2}+yz+2xz+yz+z^{2}\) Cujo resultado é: \(2x^{2}=y^{2}+z^{2}\) Como I = II, prova-se a PA. Está correto o raciocínio? |
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| Autor: | Rui Carpentier [ 25 ago 2017, 14:29 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Precisa PROVAR. Progressão Aritmética (PA) - Fundamentos de matemática elementar vol. 4 (ex. D20) [resolvida] |
Analisador Escreveu: Rui Carpentier Escreveu: Sugestão: (a,b,c) é uma PA se e só se b-a=c-b, ou seja, 2b=a+c. Boa noite, Rui! Seguindo sua sugestão, tenho: \(I) \frac{2}{y+z}= \frac{1}{x+y} + \frac{1}{x+z} \therefore \frac{2}{y+z}= \frac{2x+y+z}{(x+y)(x+z)}\) \(II) 2x^{2}=y^{2}+z^{2}\) Resolvendo em I: \((2x+2y)(x+z)= (y+z)(2x+y+z) \Rightarrow 2x^{2}+2xz+2xy+2yz=2xy+y^{2}+yz+2xz+yz+z^{2}\) Cujo resultado é: \(2x^{2}=y^{2}+z^{2}\) Como I = II, prova-se a PA. Está correto o raciocínio? Sim, está correto. |
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