Boa noite!
Temos (3,5) e (4,7), que formam uma base para R2 e levam para (2,4), (-1,3), que também é uma base em R2 (basta calcular o determinante das matrizes com estes vetores e não dar zero).
Assim, um ponto qualquer:
Multiplicando a primeira por 5 e a segunda por -3 e somando as duas:
\(20b-21b=5x-3y\\b=-5x+3y\)
Agora, multiplicando a primeira por 7 e a segunda por -4 e somando as duas:
\(21a-20a=7x-4y\\a=7x-4y\)
Substituindo:
\((x,y)=(7x-4y)(3,5)+(-5x+3y)(4,7)\)
Aplicando-se a transformação linear:
\(T(x,y)=(7x-4y)T(3,5)+(-5x+3y)T(4,7)
T(x,y)=(7x-4y)(2,4)+(-5x+3y)(-1,3)
T(x,y)=(14x-8y,28x-16y)+(5x-3y,-15x+9y)
T(x,y)=(19x-11y,13x-7y)
T(x,y)=\left[\begin{matrix}19&-11\\13&-7\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right]\)
Testando:
T(3,5)=(19(3)-11(5),13(3)-7(5))=(57-55,39-35)=(2,4)
T(4,7)=(19(4)-11(7),13(4)-7(7))=(76-77,52-49)=(-1,3)
Espero ter ajudado!