Antes de mais não estou certo do que são Dx, Dy e Dz. Calculo que sejam os determinantes das matrizes que se obtêm substituindo uma coluna da matriz dos coeficientes A pelo vetor coluna b (isto no sistema \(A{\bf x}=b\)). Se for isso, é verdade, e não é difícil demonstar*, que se D=0 e o sistema tem solução então Dx=Dy=Dz=0. Ou seja, é verdade a segunda condição:
Se Dx OU Dy OU Dz ≠ 0 (e D=0), trata-se de um Sistema Impossível (SI).
No entanto, a reciproca só é válida se a matriz A tiver pelo menos duas colunas linearmente independente. Se todas as colunas de A forem múltiplos escalares de um dado vetor, então Dx=Dy=Dz=0 qualquer que seja o b (podendo portanto naõ haver solução para \(A{\bf x}=b\)).
*Se, sem perda de generalidade, Dz ≠ 0 teriamos que qualquer vetor do espaço seria uma combinação linear das duas primeiras colunas de A e o vetor b. Como, para existir solução, b tem de ser combinação linear das colunas de A, teríamos que qualquer vetor do espaço seria uma combinação linear das colunas de A o que contradiz D=0.