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Determine uma P.A de quatro termos sabendo que sua soma vale -2 e o produto 40.

De acordo com os dados do problema, os termos em causa são

\(a_0 \quad ,\quad a_0 + k \quad, \quad a_0 + 2k \quad, \quad a_0 + 3k\)

Sabendo que a soma é -2, obtemos que \(a_0= -\frac 12 -\frac 32 k\).

Usando agora a segunda condição, onde substituímos a_0 pelo seu valor em termos de k, obtemos

\(\left(-\frac{3 k}{2}-\frac{1}{2}\right) \left(-\frac{k}{2}-\frac{1}{2}\right)\left(\frac{k}{2}-\frac{1}{2}\right) \left(\frac{3k}{2}-\frac{1}{2}\right)=40 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{9 k^4}{16}-\frac{5 k^2}{8}-\frac{639}{16} = 0\)

A equação anterior pode ser resolvida em ordem a \(k^2\) usando a fórmula resolvente, tendo como soluções reais k=3 e k=-3. Existem então duas "progressões" aritméticas nas condições propostas:

\(-5 \quad , \quad -2 \quad,\quad 1 \quad,\quad 4\)

e

\(4 \quad , \quad 1 \quad,\quad -2 \quad,\quad -5\).

Os termos são os mesmos mas, de facto, não se trata da mesma progressão.