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a³+pa+q=0
b³+pb+q=0
c³+pc+q=0

o valor de a+b+c ?

Não acho que a pergunta esteja bem formulada.
Se \(a, b\) e \(c\) são distintos então são as raízes do polinómio \(x^3+px+q\).
Ou seja, \(x^3+px+q=(x-a)(x-b)(x-c)=x^3-(a+b+c)x^2+(ab+bc+ca)x-abc\). Logo \(a+b+c=0\).
No entanto na pergunta nada diz que \(a, b\) e \(c\) têm que ser as raízes de \(x^3+px+q\), podendo termos, por exemplo, \(a=b\) uma raíz não-múltipla de \(x^3+px+q\).