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(ESPM-SP) Uma progressão aritmética possui 513 termos, todos ímpares. O seu primeiro termo e sua razão são as raízes da equação \(x^2 - 15x + 44 = 0\). Para quantos termos dessa sequência o algarismo das unidades é o 9?
a) 102
b) 103
c) 104
d) 105
e) 106

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Daniel Ferreira
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Olá Daniel

As raízes da equação do 2º grau acima são \(x=4\) e \(x=11\)

Uma progressão aritmética é da forma

\(a_{i+1}=a_i +d\\) Forma recursiva

\(a_i = a_0 + i\cdot d \\) Forma explícita

Como \(4\) não é ímpar, \(4\) só poderá ser a razão
Logo \(11\) será o primeiro termo

Assim a forma geral é

\(a_i = 11 + i\cdot 4 \\)

A sequência é então:

11, 15, 19, 23, 27, 31, 35, 39, 43, 47, 51, 55, 59....

Reparamos que de 20 em 20 (a cada 5 termos da sequência), aparece um algarismo 9 nas unidades

Ignorando os três primeiros termos (onde há um 9 nas unidades), para que tenhamos uma sequência periódica com 9 nas unidades a cada cinco termos, e considerando que existem 513 termos,

o número de 9 nas unidades deverá ser \((513-3)/5+1=103\)

Assim, parece-me que a resposta certa é a b)

Cumprimentos

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João Pimentel Ferreira
 
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