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| Progressão Aritmética e Geométrica Concurso Inmetro https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=22&t=6553 |
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| Autor: | luciano [ 20 jul 2014, 20:56 ] |
| Título da Pergunta: | Progressão Aritmética e Geométrica Concurso Inmetro |
Três técnicos executaram a calibração de 54 instrumentos de medição. Os números de instrumentos calibrados por cada técnicos podem ser dispostos em ordem crescente de modo a construir três termos de uma progressão aritmética. Adicionando-se 3 ao maior termo dessa progressão, ela se transforma em uma progressão geométrica. Quantos instrumentos cada técnico calibrou? |
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| Autor: | Fraol [ 20 jul 2014, 23:44 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Progressão Aritmética e Geométrica Concurso Inmetro |
Boa noite, Vamos chamar de \(m\) a quantidade de instrumentos calibrados pelo técnico que ficou no meio, pela ordem crescente. Usando os dados do problema teremos as seguintes relações: \(PA: m-r + m + m + r = 54 \Leftrightarrow m = 18\) e \(PG: \frac{m}{q} + m + mq = 54 + 3 \Leftrightarrow q = \frac{2}{3} \text{ ou } q = \frac{3}{2}\) Como se trata de colocar as quantidades em ordem crescente então usemos o valor \(q = \frac{3}{2}\) Dessa forma, a quantidade de instrumentos do primeiro técnico foi \(\frac{m}{\frac{3}{2}} = \frac{18}{\frac{3}{2}} = 12\) e portanto o terceiro calibrou \(24\) instrumentos. |
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| Autor: | luciano [ 21 jul 2014, 11:20 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Progressão Aritmética e Geométrica Concurso Inmetro |
Obrigado! Só não entendi por que a razão é 2/3 ou 3/2? Seria uma constante para este tipo de exercício já que são duas raízes entre três termos? Att, Luciano |
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| Autor: | Fraol [ 21 jul 2014, 13:34 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Progressão Aritmética e Geométrica Concurso Inmetro [resolvida] |
Bom dia, Não é uma constante. É um resultado dos dados desse problema, veja o desenvolvimento da expressão da PG: \(\frac{m}{q}+m+mq=57 \Leftrightarrow \frac{m}{q} + \frac{mq}{q} + \frac{mq^2}{q}=\frac{57q}{q}\) \(\Leftrightarrow m + mq + mq^2 = 57q \Leftrightarrow mq^2 +(m-57)q +m = 0\) Substituindo o valor de \(m\) encontrado na PA: \(\Leftrightarrow {18q^2} +(18-57)q + {18} = 0 \Leftrightarrow 3(6q^2-13q + 6) = 0\) Então os valores, candidatos a razão da PG, são as raízes da quadrática embutida na expressão acima. |
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| Autor: | Fraol [ 21 jul 2014, 13:36 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Progressão Aritmética e Geométrica Concurso Inmetro |
Mais uma coisa, como disse no início o valor \(\frac{2}{3}\) não foi usado como razão, pois tornaria a sequência descrescente. |
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| Autor: | luciano [ 21 jul 2014, 19:09 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Progressão Aritmética e Geométrica Concurso Inmetro |
Muito obrigado!!! |
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