Fórum de Matemática
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Estudando a sequencia de Fibonacci percebi o seguinte:
Que somando algumas parcelas da sequencia em A e outras em B e levando em conta o nº de parcelas de Fibonacci somadas, nunca tenho uma soma igual para A e B. A pergunta é se há alguma propriedade da sequencia de Fibonacci em que eu possa saber quais parcelas pertencem a A e quais pertencem a B ou se uma dada parcela não pertence àquela soma. Ex: A=F(3)+F(5) B=F(7)+F(10).
Existe algum cálculo que me informe que por exemplo F(4) não pode estar em A ou talvez que F(7) pertence a B e a não pertence a A ? Desde já grato.

Pode ser útil o seguinte site:
http://en.wikipedia.org/wiki/Zeckendorf%27s_theorem

Rui, não sou muito bom em matemática. Poderia me dar uma dica de como utilizar conforme exemplo que dei?
Preciso fazer um algoritmo de computação com esta informação.

Obrigado.

O que são o A e B? Em geral podemos ter que duas somas de números de Fibonacci dê o mesmo resultado mesmo que o nº de parcelas sejam iguais e os conjuntos A e B sejam distintos. Por exemplo 16=13+2+1 =8+5+3. No entanto é sabido pelo teorema de Zeckendorf que para qualquer número natural existe uma única decomposição em números de Fibonacci sem que apareça na decomposição dois termos consecutivos da sucessão de Fibonacci (como acontece nas duas decomposições apresentadas de 16, 1 e 2 assim como 3, 5 e 8 são termos consecutivos de Fibonacci). Para determinar a representação de Zeckendorf de um dado N procede-se do seguinte modo:

1. Se \(N\) é um número de Fibonacci \(F_k\), então pare \(N=F_k\). Senão encontre na sucessão de Fibonacci o termo \(F_n\) tal que \(F_n< N<F_{n+1}\). Seja \(R=N-F_n\) (logo \(N=F_n+R\)).

2. Repita o passo 1 para \(R\).

Exemplo1:
\(N=16\), \(13=F_7<16<21=F_8\), \(16=F_7+3\), \(3=F_4\). Portanto \(16=F_7+F_4\).

Exemplo2:
\(N=100\), \(89=F_{11}<100<144=F_{12}\), \(100=F_{11}+11\), \(8=F_6<11<13=F_7\), \(100=F_{11}+F_6+3\), \(3=F_4\). Portanto \(100=F_{11}+F_6+F_4\).

Rui. Você é o CARA! Muito obrigado pela ajuda!