Fórum de Matemática
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Sejam as retas \(l_{1}\,:\,(0,\,1,\,0)\,+\,t(2,\,-1,\,3)\) e \(l_{2}\,:\,(1,\,1,\,1)\,+\,s(-2,\,-1,\,1)\).

a) Seja \(P\) um ponto variável de \(l_{1}\) e \(Q\) um ponto variável de \(l_{2}\). Quais as condições que os parâmetros reais \(t\), \(s\) devem satisfazer para que a reta \(PQ\) seja paralela ao plano \(z=0\) ou esteja contida nele?

b) Verificada a condição acima, qual o lugar geométrico do ponto médio do segmento \(PQ\)?

a) A reta \(PQ\) é paralela (ou incidente) ao plano \(z=0\) se os pontos \(P\) e \(Q\) estão contidos num plano paralelo a \(z=0\) (ou no próprio plano). Os planos paralelos a \(z=0\) são os planos de equação \(z=constante\). Logo os pontos \(P=(2t,1-t,3t)\) e \(Q=(1-2s,1-s,1+s)\) estão num plano paralelo ou igual a \(z=0\) se e só se coincidirem na terceira coordenada, ou seja, \(3t=1+s\).

b) O ponto médio de \(P=(2t,1-t,3t)\) e \(Q=(1-2s,1-s,1+s)\) é dado por \(M=\left(\frac{2t+1-2s}{2},\frac{1-t+1-s}{2},\frac{3t+1+s}{2}\right)\) o que na condições da alínea anterior, \(3t=1+s\), define uma reta: \(\left(\frac{3}{2},\frac{3}{2},0\right)+t\left(-2,-2,3\right)\) (se não me enganei nas contas).