Fórum de Matemática
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No triangulo ABC, D eh ponto medio de BC. O ponto E, de AC, eh tal que AE=mEC. Calcule m para que os vetores v=DE e w=BA+CA+2BC fiquem paralelos.

Alguem pode ajudar ?

Boa noite,

Você não teria aí mais alguma informação tais como as coordenadas dos pontos A, B e C ou coisa que o valha ... ?
Aparentemente é uma identidade do tipo: o vetor w intercepta AC num ponto F tal que BF = 2DE, mas não me recordo os detalhes agora. Então se tiver mais alguma informação para refrescar a memória, seria bom.

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Fraol
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nao tem coordenadas.
o exercicio informa apenas isso.

Ok. Obrigado. Estive "ruminando" aqui e conclui que AE = 2EC pois, nestas condições, com E e F sobre AC, este fica dividido em 3 partes iguais. Resta agora provar (demonstrar). Vou pensar mais um pouco no assunto, possivelmente amanhã. De qualquer forma, a questão fica aberta a quem quiser colaborar.

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Fraol
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Oi, creio que podemos demonstrar da seguinte forma (talvez tenha que organizar um pouco o algebrismo):

Vamos assumir que os vetores estão referenciados em uma origem O. Também vou omitir as setas sobre os segmentos para indicar os vetores.



\(w=BA+CA+2BC = OA - OB + OA - OC + 2(OC - OB)\) então \(w = 2OA -3OB + OC\)


\(AE = OC - OA - EC\) . Como \(EC = \frac{OC}{m+1} - \frac{OA}{m+1}\) então \(AE = OC - OA - \frac{OC}{m+1} + \frac{OA}{m+1}\)

\(OE = OA + AE = OA + OC - OA - \frac{OC}{m+1} + \frac{OA}{m+1}\)


\(v = DE = OE - OD = OE - \frac{OB+OC}{2}\)

\(v = DE = OE - OD = OC - \frac{OC}{m+1} + \frac{OA}{m+1} - \frac{OB+OC}{2}\). Agora arrumando um pouco:

\(v = \frac{OA}{m+1} -\frac{OB}{2} + \frac{(m-1)OC}{2(m+1)}\)

O exercício diz que \(v\) e \(w\) devem ser paralelos, isto é, \(w = \alpha v\) para algum \(\alpha\).

Então podemos fazer as seguintes igualdades:

\(2OA = \alpha \frac{OA}{m+a}; -3OB= -\alpha \frac{OB}{2}; OC = \alpha \frac{(m-1)OC}{2(m+1)}.\)

(errata: onde está \(m+a\) na primeira igualdade acima leiam \(m+1\))

Da segunda igualdade sai \(\alpha = 6\). Substituindo na primeira sai que \(m = 2\) que resolve a questão.

Por favor, dá uma olhada nos passos e se lgo não estiver claro manda pra cá pra gente tentar elucidar.

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Fraol
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