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Determinar a area de um quadrado inscrito em um triangulo equilatero em funcao
Do raio R do circulo circunscrito a esse triangulo

Oi, incluo uma figura para ajudar a visualizar o método.

Sendo:

\(a, l\) o lado do triângulo equilátero e o lado do quadrado respectivamente.

\(h = \frac{a\sqrt{3}}{2}, R=\frac{2h}{3}=\frac{a\sqrt{3}}{3}\), a altura do triângulo e o raio da circunferência circunscrita respectivamente.

Por semelhança temos: \(\frac{l}{\frac{a-l}{2}}=\frac{h}{\frac{a}{2}} \Leftrightarrow ... \Leftrightarrow a\sqrt{3}=l(2+\sqrt{3})\)

Dividindo ambos os membros por \(3\) e subsituindo teremos: \(R = \frac{l(2+\sqrt{3})}{3}\).

Para obter a área do quadrado basta isolar \(l\) na última expressão e elevar ao quadrado.

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Muito obrigado pela sua ajuda,mas eu nao entendi o modo da semelhanca
E o resultado aqui do livro é diferente
Solucao do livro 9(2-radix3)/3

Oi, então vamos começar vendo o caso da resposta do livro e depois eu falo sobre a semelhança.

Na minha última participação, cheguei a \(R = \frac{l(2+\sqrt{3})}{3}\). e pedi para isolar o \(l\). Então façamos isso:

\(l = \frac{3R}{(2+\sqrt{3})} = 3R(2-\sqrt{3})\).

A área do quadrado é: \(l^2 = 9 R^2(2-sqrt(3))^2\). Talvez, possa haver alguma transformação que nos leve até a resposta do livro mas eu não a vejo agora. Ademais, cadê o \(R\) na resposta do livro?

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Agora, sobre a semelhança:

Na figura marquei os pontos \(D\) e \(E\).

Observe a semelhança dos triângulos \(\Delta ADE \sim \Delta AHC\), pois possuem os três ângulos iguais.

Dessa forma pude fazer: \(\frac{DE}{AD}=\frac{HC}{AH} \Leftrightarrow \frac{l}{\frac{a-l}{2}}=\frac{h}{\frac{a}{2}\)

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Estou fazendo assim HC/DE=AH/DA
Depois meu lado do triangulo vale radiz3r entao a altura do triangulo vale 3r/2 por semelhanca fica assim
(3r/2)/DE=Radiz3/((radiz3-l)/2)
DE=lado do quadrado
Meu DE=6r-3radix3r
Foi o maximo q eu consegui,

Desculpa ,na hora de colocar a resposta esquici do r^2

Obrigado pir estar me ajudando nesse exercicio q esta me deixa do lokoo

OI, bem a minha resposta está correta.

Vamos tentar decifrar o que você está fazendo ...



Por que seu lado vale "radiz3r" ( isso é \(\sqrt{3R}\)? ). (editado) Penso que seja \(\sqrt{3}R\).
O ideal seria você colocar as suas expressões por meio de Latex, conseguirá isso usando o "Editor de equações" (link na parte de cima da janela de edição do tópico).

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Agora q eu vi a minha tambem esta correta
Sim,mas é raiz quadrada de 3 vezes r
Isso eu obtive do lado do triangulo circunscrito a ele