Fórum de Matemática
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Considere o triangulo ABC, com base BC medindo 6cm e com altura 5cm. Um retângulo inscrito nesse triangulo tem o lado MN paralelo a BC, com x cm de comprimento. Qual o valor de x, em cm, para que a área do retângulo seja máxima?


R: 3.

\(\frac{MN}{BC}=\frac{AK}{AL}\)

\(\frac{x}{6}=\frac{5-y}{5}\)

\(y=\frac{1}{6}(30-5x)\)

\(A=xy=\frac{1}{6}(30x-5x^2)\)

\(\frac{dA}{dx}=\frac{1}{6}(30-10x)=0\)

\(x=3\)

não entendi podia passo a passo

Step by step:
\(\Delta AMN\sim \Delta ABC\Rightarrow \frac{MN}{BC}=\frac{AK}{AL}\)
OK?

não entendi a penúltima linha

A área A é uma função de x.
Para encontrar máximo da área, precisamos descobrir onde o derivado da área é 0, ou encontrar área nas bordas. No nosso caso, a área nas bordas é 0, portanto não estamos interessados neles. Então, precisamos resolver essa equação com o derivado:
\(\frac{dA}{dx}=0\)

cheguei ao resultado fazendo-b/2*a que é o xv

Equação de uma reta que passa por dois pontos de coordenadas conhecidas
\(y-y_0=m(x-x_0),\ onde\ m=\frac{y-y_0}{x-x_0}\)
Equação da reta (r) que passa por B(0,0) e A(3,5)
\(m_r=\frac{5-0}{3-0}=\frac{5}{3} => y-0=\frac{5}{3}(x_r-0)=\frac{5}{3}x_r\ e\ x_r=\frac{3}{5}y\)
Equação da reta (s) que passa por A(3,5) e C(6,0)
\(m_s=\frac{0-5}{6-3}\\y-5=-\frac{5}{3}(x_s-3)==>y=-\frac{5}{3}(x_s-3)+5==>y=10-\frac{5}{3}x_s\ e\ x_s=6-\frac{3}{5}y\)
Altura do retângulo de máxima área A
\(A=(x_s-x_r)y=(6-\frac{3}{5}y-\frac{3}{5}y)y==>A=6y-\frac{6}{5}y^2\ (1)\\Derivando\ e\ igualando\ a\ zero,\ teremos:\\\frac{dA}{dy}=0==>6-\frac{12}{5}y=0==>y=\frac{30}{12}=2,5\ cm\)
\(Substituindo\ y=2,5\ em\ (1),\ teremos\ A=7,5\ cm^2\\Sendo\ A=x.y,\ x=\frac{A}{y}=\frac{7,5}{2,5}==>x=3\ cm\)
Resposta: x=3 cm