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| Geometria Euclidiana - Medianas, Retas e Vertices. https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=23&t=12814 |
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| Autor: | Alberto Carlos [ 07 jun 2017, 02:09 ] |
| Título da Pergunta: | Geometria Euclidiana - Medianas, Retas e Vertices. |
Pelo ponto de encontro das medianas de um triangulo qualquer, traca-se uma reta qualquer. Prove que a soma das distancias dos dois vertices do triangulo situados em um mesmo semiplano definido pela reta eh igual a distancia do terceiro vertice do triangulo a reta. |
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| Autor: | Rui Carpentier [ 07 jun 2017, 23:45 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Geometria Euclidiana - Medianas, Retas e Vertices. |
Não vou resolver o exercício passo a passo, mas vou dar os dois passos essenciais para a sua resolução. Fixando, em primeiro lugar, a notação. Sejam A, B e C os vértices do triângulo, com A e B no mesmo semi-plano. E sejam Ma, Mb e Mc os pontos médios dos lados opostos a A, B e C respetivamente. Passo 1: Prove que a distância do ponto médio do segmento AB (o ponto Mc) à reta é a média das distâncias dos pontos A e B à reta. Note que sendo Mc ponto médio de AB as coordenadas de Mc são as médias das coordenadas de A e B. Passo 2: Prove que a distância do ponto Mc à reta é metade da distância do ponto C à reta. É questão de ver que o segmento que une Mc ao ponto da reta mais próximo se obtém do segmento que une C ao ponto da reta mais próximo rodando o plano 180º em torno do baricentro* do triângulo e reduzindo a escala por um fator de 1/2. Depois a conclusão do exercício sai facilmente. * O ponto de encontro das medianas. |
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