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MensagemEnviado: 21 set 2017, 16:29 
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OACB e um paralelogramo.

OA=a e OB=b

OM:MA=4:1
ON:NC=2:1


MNX e uma linha recta.


Descubra o racio BX:XC

No gabarito tem a seguinte resposta:

1) MN= -4/5a+2/3(a+b)
MN= -2/15a+2/3b

2) NX= -2/3(a+b)+b+na
NX=( -2/3+n)a +1/3b

3) O coeficiente de a e -1/5 o coeficiente de b ,entao -2/3 + n = -1/5

Resposta BX:XC = 3:2

CREIO que entendi os dois primeiros passos ,mas o terceiro........

Anexo:
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MensagemEnviado: 21 set 2017, 23:06 
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Já que os pontos M, N e X pertencem a uma reta, os vetores \(\overline{MN}\) e \(\overline{NX}\) são colineares. Consequentemente, existe um número t tal que \(\overline{NX} = t \overline{MN}\). Agora,
\(\left(-\frac23 +n \right)\vec a + \frac 13 \vec b = t\left(-\frac{2}{25} \vec a + \frac 23 \vec b\right)
\left(-\frac23 +n \right)\vec a + \frac 13 \vec b = -\frac{2}{25}t \vec a + \frac 23 t \vec b\)
Como os vetores \(\vec a\) e \(\vec b\) não são colineares, temos
\(-\frac23 +n =-\frac{2}{25}t , \quad \frac 13 = \frac 23 t\)
donde t = 1/2, -2/3 + n = -1/15 (e não -1/5), se não erro.

Isto permite encontrar o vetor NX, e, consequentemente, também o vetor OX, já que OX = ON + NX e o vetor ON já sabemos.

A estratégia geral é assim. Escolhemos uma base (por exemplo, a, b) e uma origem (por exemplo, O). Em vez de pontos A, M, X, etc., consideramos os vetores OA, OM, OX, etc, chamados vetores posição. Tentamos encontrar a representação destes vetores em termos de a e b utilizando os dados (colinearidade, paralelidade, etc.) exprimindo-os na forma vetoriral. Finalmente, pode-se encontar qualquer outro vetor em termos dos vetores posição e resolver o problema.

Neste caso estamos interessados no rácio BX:XC. Para o encontrar, basta encontrar s tal que \(\overline{BX} = s\overline{BC}\). Mas \(\overline{BC} = \vec b\) e quando soubermos o vetor OX, logo podemos calcular \(\overline{BX} = \overline{OX} - \overline{OB}\); então o valor de s será óbvio.

Está a perceber mais ou menos?

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MensagemEnviado: 22 set 2017, 16:34 
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Estanislau Escreveu:
Já que os pontos M, N e X pertencem a uma reta, os vetores \(\overline{MN}\) e \(\overline{NX}\) são colineares. Consequentemente, existe um número t tal que \(\overline{NX} = t \overline{MN}\). Agora,
\(\left(-\frac23 +n \right)\vec a + \frac 13 \vec b = t\left(-\frac{2}{25} \vec a + \frac 23 \vec b\right)
\left(-\frac23 +n \right)\vec a + \frac 13 \vec b = -\frac{2}{25}t \vec a + \frac 23 t \vec b\)
Como os vetores \(\vec a\) e \(\vec b\) não são colineares, temos
\(-\frac23 +n =-\frac{2}{25}t , \quad \frac 13 = \frac 23 t\)
donde t = 1/2, -2/3 + n = -1/15 (e não -1/5), se não erro.

Isto permite encontrar o vetor NX, e, consequentemente, também o vetor OX, já que OX = ON + NX e o vetor ON já sabemos.

A estratégia geral é assim. Escolhemos uma base (por exemplo, a, b) e uma origem (por exemplo, O). Em vez de pontos A, M, X, etc., consideramos os vetores OA, OM, OX, etc, chamados vetores posição. Tentamos encontrar a representação destes vetores em termos de a e b utilizando os dados (colinearidade, paralelidade, etc.) exprimindo-os na forma vetoriral. Finalmente, pode-se encontar qualquer outro vetor em termos dos vetores posição e resolver o problema.

Neste caso estamos interessados no rácio BX:XC. Para o encontrar, basta encontrar s tal que \(\overline{BX} = s\overline{BC}\). Mas \(\overline{BC} = \vec b\) e quando soubermos o vetor OX, logo podemos calcular \(\overline{BX} = \overline{OX} - \overline{OB}\); então o valor de s será óbvio.

Está a perceber mais ou menos?


Confesso que ainda estou um pouco baralhado,mas irei debru;ar/me sobre a sua explicação e resolver passo a passo para ver se assim fico mais elucidado.


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MensagemEnviado: 24 set 2017, 13:53 
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Estanislau Escreveu:
Já que os pontos M, N e X pertencem a uma reta, os vetores \(\overline{MN}\) e \(\overline{NX}\) são colineares. Consequentemente, existe um número t tal que \(\overline{NX} = t \overline{MN}\). Agora,
\(\left(-\frac23 +n \right)\vec a + \frac 13 \vec b = t\left(-\frac{2}{25} \vec a + \frac 23 \vec b\right)
\left(-\frac23 +n \right)\vec a + \frac 13 \vec b = -\frac{2}{25}t \vec a + \frac 23 t \vec b\)
Como os vetores \(\vec a\) e \(\vec b\) não são colineares, temos
\(-\frac23 +n =-\frac{2}{25}t , \quad \frac 13 = \frac 23 t\)
donde t = 1/2, -2/3 + n = -1/15 (e não -1/5), se não erro.

Isto permite encontrar o vetor NX, e, consequentemente, também o vetor OX, já que OX = ON + NX e o vetor ON já sabemos.

A estratégia geral é assim. Escolhemos uma base (por exemplo, a, b) e uma origem (por exemplo, O). Em vez de pontos A, M, X, etc., consideramos os vetores OA, OM, OX, etc, chamados vetores posição. Tentamos encontrar a representação destes vetores em termos de a e b utilizando os dados (colinearidade, paralelidade, etc.) exprimindo-os na forma vetoriral. Finalmente, pode-se encontar qualquer outro vetor em termos dos vetores posição e resolver o problema.

Neste caso estamos interessados no rácio BX:XC. Para o encontrar, basta encontrar s tal que \(\overline{BX} = s\overline{BC}\). Mas \(\overline{BC} = \vec b\) e quando soubermos o vetor OX, logo podemos calcular \(\overline{BX} = \overline{OX} - \overline{OB}\); então o valor de s será óbvio.

Está a perceber mais ou menos?


Bom dia! Percebo a primeira parte em que substituiu MN=tNX, embora em NX o valor que me deu anteriormente foi -2/15a e não -2/25a.
Apartir daqui não percebi muito bem como chegou aos valores -2/3+n = -2/25t e consequentemente 1/3=2/3t

Se me puer elucidar, agradeço.

Obrigado.


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MensagemEnviado: 24 set 2017, 21:42 
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Sejam \(\vec a\) e \(\vec b\) dois vetores não colineares, então sabe-se que a igualdade vetorial
\(\alpha \vec a + \beta \vec b = \gamma \vec a + \delta \vec b\)
equivale a duas igualdades numéricas
\(\alpha = \gamma, \quad \beta = \delta\)
É uma propriedade bem fundamental.

Parece que 2/15 se transformou espontaneamente em 2/25. Acontece. :)

Vamos tentar outra vez, desde o início.

Seja O a origem. Denotemos \(\overline{OA} = \vec a\), \(\overline{OB} = \vec b\). A tarefa imediata é transformarmos as relações geométricas em forma vetorial. Especificamente, vamos exprimir os vetores posição de todos os pontos em termos de \(\vec a\) e \(\vec b\).

\(\overline{OA} = \vec a\) por definição.

\(\overline{OB} = \vec b\) por definição.

\(\overline{OC} = ?\)
O que é que sabemos sobre C? A nossa única informação é que OACB é um paralelogramo. Sabe-se que então
\(\overline{OC} = \overline{OA} + \overline{OB} = \vec a + \vec b\)

\(\overline{OM} = ?\)
O que é que sabemos sobre M? Sabemos que este ponto pertence ao segmento OA e, além disso, que o divide numa dada razão. Usando estas informações, é fácil ver que
\(\overline{OM} = 4/5 \overline{OA} = 4/5 \vec a\)

De maneira semelhante,
\(\overline{ON} = 2/3 \overline{OC} = 2/3 (\vec a + \vec b) = 2/3 \vec a + 2/3 \vec b\)

\(\overline{OX} = ?\)
É o mais intricado. O que é que sabemos sobre X? É a interseção das retas BC e MN, quer dizer, pertence a cada uma reta.

Como X pertence à reta BC, os vetores \(\overline{BX}\) e \(\overline{BC}\) são colineares. Consequentemente, existe um número n tal que
\(\overline{BX} = n\overline{BC}\)
Então,
\(\overline{OX} = \overline{OB} + \overline{BX} = n \vec a + \vec b\)
Nada mal, só que ainda não sabemos o valor de n. Mas por outro lado, ainda não utilizámos todas as informações.

Como X pertence à reta MN, os vetores \(\overline{NX}\) e \(\overline{MN}\) são colineares. Consequentemente, existe um número t tal que
\(\overline{NX} = t\overline{MN}\)
Sabendo os vetores posição dos pontos inicial e final de um vetor, é facil exprimir o vetor em termos de \(\vec a\) e \(\vec b\). Temos:
\(\overline{MN} = \overline{ON} - \overline{OM} = (2/3 \vec a + 2/3 \vec b) - 4/5 \vec a = -2/15 \vec a + 2/3 \vec b\)
\(\overline{NX} = -2/15 t \vec a + 2/3 t \vec b\)
\(\overline{OX} = \overline{ON} + \overline{NX} = (2/3 \vec a + 2/3 \vec b) +( -2/15 t \vec a + 2/3 t \vec b)
= (2/3 - 2/15 t) \vec a + (2/3 + 2/3 t) \vec b\)
Ora bem, temos duas expressões do mesmo vetor \(\overline{OX}\). Assim,
\(n \vec a + \vec b = (2/3 - 2/15 t) \vec a + (2/3 + 2/3 t) \vec b\)
Utilizando a propriedade fundamental dos vetores não colineares, obtemos o sistema de equações
n = 2/3 - 2/15 t, 1 = 2/3 + 2/3 t
donde n = 3/5 e
\(\overline{OX} = 3/5 \vec a + \vec b\)

Pronto, todo o enunciado é convertido em forma vetorial.

Ora é simples responder a qualquer pergunta. Por exemplo, estamos interessados na razão BX : XC. Por exemplo, podemos encontrá-la assim (não é a maneira mais fácil, mas é muito simples e ilustra a utilidade dos vetores posição):
\(\overline{BX} = \overline{OX} - \overline{OB} = (3/5 \vec a + \vec b) - \vec b = 3/5 \vec a\)
\(\overline{XC} = \overline{OC} - \overline{OB} = (\vec a + \vec b) - (3/5 \vec a + \vec b) = 2/5 \vec a\)
e logo se vê que
\(\overline{BX}= 3/2 \overline{XC}\)
Assim, a razão é 3:2.

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MensagemEnviado: 24 set 2017, 22:44 
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XC=XC-OB está correcto?
Muito obrigado pela sua ajuda

Muito obrigado.


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MensagemEnviado: 24 set 2017, 23:46 
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mocs76 Escreveu:
XC=XC-OB está correcto?

Ai, não. :) Corrigi.

Geralmente, para quaisquer pontos O, A, B sempre vale
\(\overline{AB} = \overline{OB} - \overline{OA}\)
Nesta disciplina sempre se subtrai «o ponto inicial do ponto final».

O método é bastante simples e uniforme (se bem que monótono) e permite resolver vários problemas sem saber teoremas geométricos. :) Além disso, vetores fazem uma parte muito importante da linguagem matemática moderna. Só é preciso habituar-se. Aliás, no ensino secundário estudam-se os vetores nos espaços afins sem mencionar os espaços vetoriais, o que faz com que as coisas fiquem um bocado mais complicadas. Espere por um curso de álgebra linear. :)

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MensagemEnviado: 25 set 2017, 21:03 
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Boa noite! Posso só colocar-lhe um pa de ultimas questões para que perceba alguns detalhes que me falta entender,por favor?

1- Porque escolheu AB=OA+AB ? Eu experimentei XC=OX-OC e deu-me o que lhe tinha dado antes de alterar, apeas me deu egativo,ou seja -2/5a. Faz diferença?

2- O que diz a lei fundametal de vectores não colineares? Quando são colineares sei que estão na mesma recta e que um é multiplo do outro.

3- Por que é que tevemos que montar o sistema de equações ? Foi apenas com o intuito de encontrarmos os valores de n e t, ou foi mesmo o ponto da pergunta 2 que nos levou a isto?

Muito obrigado pela sua ajuda que tem sido muito importante.


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MensagemEnviado: 25 set 2017, 22:07 
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Esteja à vontade.
mocs76 Escreveu:
1- Porque escolheu AB=OA+AB ? Eu experimentei XC=OX-OC e deu-me o que lhe tinha dado antes de alterar, apeas me deu egativo,ou seja -2/5a. Faz diferença?

Não-não. Eu escrevi AB = OB - OA (a regra é «subtrair o ponto inicial do ponto final»). Isto vale para três pontos quaisquer e é uma consequência simples da regra do triângulo: OA + AB = OB que também vale para quaisquer pontos.

Tecnicamente, escrever XC = OX - OC é um erro de cálculo, pois segundo a regra temos XC = OC - OX (o ponto inicial subtrai-se do ponto final). Alternativamente, CX = OX - OC.
mocs76 Escreveu:
2- O que diz a lei fundametal de vectores não colineares? Quando são colineares sei que estão na mesma recta e que um é multiplo do outro.

Não é uma designação convencional. Trata-se desta propriedade: «Sejam e dois vetores não colineares, então sabe-se que a igualdade vetorial αa + βb = γa + δc equivale a duas igualdades numéricas α = γ, β = δ». Ou seja, se um vetor for representado como combinação linear de dois vetores não colineares, os coeficientes são definidos unicamente.

mocs76 Escreveu:
3- Por que é que tevemos que montar o sistema de equações ? Foi apenas com o intuito de encontrarmos os valores de n e t, ou foi mesmo o ponto da pergunta 2 que nos levou a isto?


O nosso intuito intermediário é encontrar o vetor OX―quer dizer, representá-lo como combinação linear dos vetores a e b. É porque «saber um ponto» é o mesmo que «saber um vetor posição». O importante é os coeficientes e não as incógnitas auxiliares n e t. A propriedade acima mencionada é um ferramento.

Sabe-se que o ponto X satisfaz duas condições: pertence a reta BC e a reta MN. Estas condições servem de definição do ponto. Cada uma condição fornece-nos uma representação na forma da combinação linear dos vetores a e b. Mas como uma só condição não define o ponto X unicamente, ambas contêm parámetros incógnitos. Porém, de acordo com a propriedade, as representações coincidem. Isto permite-nos montar o sistema e encontrar os coeficientes da combinação linear.

Na verdade, aqueles coeficientes podem ser encarados como coordenadas de X num sistema de coordenadas afim. O facto de X ser o ponto de intreseção de duas retas dadas permite determinar os coordenadas.

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