01 Oct 2017, 21:32
02 Oct 2017, 02:21
02 Oct 2017, 02:45
Estanislau Escreveu:Propriedade 4.
Pelos vistos aqui \(\vec c\) não depende de t, e a correção deve ser
\((\vec c \cdot \vec \gamma)'(t) = \vec c \cdot \vec \gamma'(t)\)
(faltava uma plica e também, como c não depende de t, não escrevemos c(t)).
O resultado está correto.
02 Oct 2017, 10:30
MikeAlexBillsZ Escreveu:isso significa que ao calcular a derivada de um produto escalar entre um vetor e um caminho (ou dois caminhos), o resultado pode ser o produto escalar entre o vetor e a derivada do caminho?
MikeAlexBillsZ Escreveu:é correto dizer que o produto escalar entre o vetor e o caminho resulta na derivada da função escalar resultante do produto escalar entre o vetor e o caminho.
08 Oct 2017, 15:19
Estanislau Escreveu:MikeAlexBillsZ Escreveu:isso significa que ao calcular a derivada de um produto escalar entre um vetor e um caminho (ou dois caminhos), o resultado pode ser o produto escalar entre o vetor e a derivada do caminho?
Pode e é.MikeAlexBillsZ Escreveu:é correto dizer que o produto escalar entre o vetor e o caminho resulta na derivada da função escalar resultante do produto escalar entre o vetor e o caminho.
Ai, não. O produto escalar entre um «vetor constante» e um campo vetorial é uma função escalar. A derivada desta função já é igual ao produto escalar entre o vetor e a derivada do campo. (Se calhar é isto que você queria escrever.)
Estanislau Escreveu:Finalmente!! Percebi as vossas notações. Se está com presa agora, pode não ligar, leia depois.
Em matemática em geral, um vetor é um elemento de qualquer espaço vetorial, quer dizer, de um conjunto onde são definidas a soma e o produto por um número. Em geometria diferencial, normalmente um vetor é especificamente um elemento do espaço tangente que é um certo espaço associado com qualquer ponto de um espaço/superfície/variedade diferencial.
Vocês «vivem» em \({\mathbb R}^m\). Os elementos de \({\mathbb R}^m\) podem ser intuitivamente visualizados como «pontos» ou como «setas». Do ponto de vista de geometria, são pontos. Um caminho (= uma curva parametrizada) podemos visualizar como um ponto a percorrer uma linha curva.
Já a velocidade de uma curva é melhor visualizada como uma seta. Se a curva passar por um ponto x, a velocidade neste ponto pode ser representada por uma seta que sai de x. É este um vetor tangente. Os vetores tangentes no ponto x são velocidades neste ponto de todas as curvas (suaves) que passam por x. Estes vetores formam o espaço tangente no ponto x. Dado outro ponto y, o espaço tangente em y é formado pelas velocidades neste ponto das curvas que passam por y. É um espaco diferente. Os vetores tangentes em y são visualizados como setas com origem y. Quer dizer, a origem importa.
Matematicamente, um bom método de definir um vetor tangente no ponto x é como um par (x; v), onde \(v \in {\mathbb R}^\) represente a «seta» e x, a «origem» dela. A velocidade de uma curva c no instante t é definida como o vetor \dot c(t) = (c(t); c'(t)), onde c(t) é a origem e c'(t) é a derivada das componentes (a «seta»). Seja \(c(t) = (t, t)\) uma curva (de facto, reta ) em \({\mathbb R}^2\), então a velocidade em t = 0 é (0, 0; 1, 1).
Dada uma curva \(c : I \to {\mathbb R}^m\), um campo vetorial ao longo de c é uma função que a cada t ∈ I faz corresponder um vetor tangente no ponto c(t). Visualmente, de cada ponto da curva sai um vetor. Por exemplo, o campo de velocidades da curva é um campo vetorial ao longo dela. Outro exemplo é um campo da forma (c(t), v), onde v não depende de t; tais campos chamam-se paralelos. Somar pontos faz pouco sentido, já somar campos vetoriais faz todo o sentido, e as propriedades tipo «derivada da soma» aplicam-se na verdade aos campos vetoriais.
Agora vocês ignoram as origens dos vetores e não fazem distinção formal entre pontos e vetores tangentes. Se calhar, isto simplifica certas coisas, mas também produz confusão.