Eu tenho algumas anotações de caderno que podem estar erradas e gostaria de tirar algumas dúvidas.
Na Figura I, as definições são:
\(\vec \gamma : I \subseteq R \to R^m\) \(\vec \delta : I \subseteq R \to R^m\)
Porém, aparece a definição da função escalar c, mas diz que leva de \(R \to R^m\). Porém, funções escalares levam de \(R \to R\) ou de \(R^m \to R\) (quando é uma função escalar de mais de uma variável, ou no caso, campo escalar), correto?
Então eu corrigi a anotação para
\(c : I \subseteq R^m \to R\)
O pensamento e a correção estão corretos? Considerando que estão, vamos passar adiante.
O vetor \(\vec c\) foi definido como \(\vec c = (c1, c2, ..., cm)\) ou seja, \(\vec c \in R^m\). Então, o vetor \(\vec c\) é um vetor do domínio da função escalar c.
Na Figura II, temos 3 definições. Abaixo de cada definição, uma consequência da definição respectiva.
Definição I: \((\vec \gamma + \vec \delta)(t) = \vec \gamma(t) + \vec \delta \in R^m\)
O que eu entendo dessa definição é que para somar dois caminhos/curvas, se obtém um novo caminho/curva somando-se cada componente da função. Gostaria de dar um exemplo para ver se entendi:
Se as funções vetoriais (é correto chamar caminho/curva de função vetorial? Afinal, eles levam de vetor para vetor) são:
\(\vec \gamma = (-t^2, t^2 - 2, 4 - t^2) \in R^3\) \(\vec \delta = (2t, 2t^2, 5 + t^3) \in R^3\)
então,
\(\vec \gamma + \vec \delta = (-t^2 + 2t, 3t^2 -2, 9 - t^2 + t^3)\), que também é um caminho de \(R^m\), com m = 3.
Correto?
Definição II:
\((s\vec \gamma)(t) = s\vec \gamma(t) \in R^m\)
A propriedade diz que multiplicando um escalar por um caminho/curva, o caminho/curva (função vetorial) será multiplicado pelo escalar como um vetor é multiplicado por escalar, certo? Então, considerando o mesmo vetor \(\vec \gamma\) anterior e tomando \(s \in R\) como s = 2, temos:
\(\vec \gamma = (-t^2, t^2 - 2, 4 - t^2)\) \(2\vec \gamma = 2(-t^2, t^2 - 2, 4 - t^2) = (-2t^2, 2t^2 - 4, 8 - 2t^2)\), que também é um vetor de \(R^m\), com m = 3.
Tudo correto no raciocínio? Algo que eu não entendi bem?
Definição III:
Nessa definição que eu me confundo mais, principalmente com as propriedades depois.
\((\vec c \cdot \vec \gamma)(t) = \vec c \cdot \vec \gamma(t) \in R\)
Repare que nas anotações, não aparece ponto para denotar produto escalar (produto interno), mas deveria ter, né?
Outra dúvida, eu estou tomando o vetor \(\vec c\) como um vetor de números escalares que não são funções de t. Se esse vetor for uma função vetorial, na verdade, ele é um caminho/curva? Ou ele é só uma função vetorial? Ou toda função vetorial de \(R \to R^m\) é um caminho/curva? Por favor, explique bem essa parte, com detalhes, porque ela me deixa confuso. Talvez ele seja um caminho/curva, e a definição lá em cima seja que c é uma função vetorial, em vez de função escalar.
Tomando como exemplo
\(\vec \gamma = (-t^2, t^2 - 2, 4 - t^2)\) \(\vec c = (2,8,2)\)
Então,
\(\vec c \cdot \vec \gamma = -2t^2 + 8t^2 - 16 + 8 - 2t^2 = 4t^2 -8 \in R\), que pertence a R.
Está tudo correto? Inclusive, a anotação diz que \(\vec \gamma\) é uma curva contida ou igual ao R, mas é uma curva contida ou igual ao \(R^m\), certo?
Por mais triste que seja para mim, essa foi só a parte simples para chegar nas propriedades da Figura III.
Propriedades
(i) \({(\vec \gamma + \vec \delta)}' = {\vec \gamma} + {\vec \delta}' \in R^m\)
Acho que essa é simples. A derivada da soma de caminhos/curvas (funções vetoriais?) é igual a soma das derivadas dos caminhos/curvas. Os dois caminhos/curvas só podem ser somados se os dois forem de \(R^m\) e a soma das derivadas também será do \(R^m\).
(ii) \({(s\vec \gamma)}'(t) = s{\vec \gamma}'(t) \in R^m\)
Note que o ponto significa multiplicação de escalar por um caminho/curva, não o produto escalar, já que s não é um vetor. Também acho que essa é simples. A derivada do produto de um escalar por um caminho/curva é igual a multiplicação do escalar pela derivada do caminho/curva. O resultado será do mesmo espaço vetorial (\(R^m\)) que o produto original.
(iii) \({(p\vec \gamma)}'(t) = {p}'(t)\vec \gamma(t) + p(t){\vec \gamma}'(t)\) (Correção correta? Comparar com a anotação da Figura III.)
Repare que na anotação, não está escrito derivada na multiplicação da função escalar pelo caminho/curva, mas nesse caso, claro que tem, porque são propriedades envolvendo derivada. Porém, não há derivada no segundo termo, mas tem, certo? Ou seja, a derivada da multiplicação da função escalar pelo caminho/curva é igual a derivada do primeiro vezes o segundo mais a derivada do segundo vezes o primeiro. Correto?
E, como nas outras propriedades, a soma dos dois termos-produto pertence ao \(R^m\).
Para usar de exemplo, se a correção acima for correta, vamos tomar p(t) = 2t, enquanto \(\gamma\) será
\(\vec \gamma = (-t^2, t^2 - 2, 4 - t^2) \in R^m\) (m=3)
Dessa forma,
\({(p(t)\vec \gamma})' = 2(-t^2, t^2 - 2, 4 - t^2) + 2t(-2t, 2t, -2t) = (-2t^2, 2t^2 - 4, 8 - 2t^2) + (-4t^2, 4t^2, -4t^2) = (-6t^2, 6t^2 - 4, 8 - 6t^2)\) - FORMA CORRETA?
\({(p(t)\vec \gamma})' = {(-2t^3, 2t^3 - 4t,8t - 2t^3)}' = (-6t^2, 6t^2 - 4, 8 - 6t^2)\) - FORMA INCORRETA OU EQUIVALENTE?
(iv)\({(\vec c \cdot \vec \gamma)}' = {(\vec c(t) \cdot \vec \gamma(t))}' \in R\) - CORREÇÃO CORRETA?
DÚVIDA IMPORTANTE - Nesse caso, a anotação mostra que a derivada do produto escalar de um vetor por um caminho/curva é igual ao produto escalar do vetor pelo caminho/curva. Porém, é a derivada desse produto escalar, certo? E o vetor \(\vec c\) tem que ser um vetor com escalares como componentes, e não funções escalares, certo?
No caso, vou usar outro exemplo para ver se está certo:
Tomando
\(\vec c = (1, 2, 4) \in R^3\) \(\vec \gamma = (-t^2, t^2 - 2, 4 - t^2) \in R^3\)
\({(\vec c \cdot \vec \gamma)}' = {(-t^2 + 2t^2 - 4 + 16 - 4t^2)}' = {(-3t^2 + 12)}' = -6t \in R\) - CORRETO?
Ou seja, a derivada do produto escalar entre um vetor e um caminho/curva (função vetorial) resulta em um valor escalar. Correto?
(v) \({(\vec \gamma \cdot \vec \delta)}' = {\vec \gamma}'(t) \cdot \vec \delta(t) + \vec \gamma(t) \cdot {\vec \delta}'(t)\)
A diferença dessa propriedade para a propriedade (iii) é que o resultado pertence a R em vez de \(R^m\). Correto? A derivada do produto escalar entre dois caminhos/curvas é igual a derivada do primeiro vezes o segundo mais a derivada do segundo vezes o primeiro. A multiplicação nesse caso é produto escalar.
Eu estou formulando escrevendo tudo isso, inclusive em LaTex, faz umas 4/5 horas. Ficou grande, mas acredito que responder seja mais rápido. Obrigado de antemão a quem responder.
Anexos: |
Comentário do Ficheiro: Figura III
Propriedades (de derivadas).
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Comentário do Ficheiro: Figura II
Definições.
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Comentário do Ficheiro: Figura I
Definições das curvas gama, delta e de uma função escalar para serem tomadas como base para o resto das explicações.
Screenshot 2017-10-01 12.32.55.png [ 550.02 KiB | Visualizado 2242 vezes ]
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