Área da secção meridional de um cone

[Rodrigues1964]

Em um cone reto de 4 cm de altura está inscrita uma pirâmide hexagonal regular, cujo apótema mede 5 cm. Determine a área da secção meridiana do cone.

Obs: Há dois tipos de apótema, o da base da piramide e da lateral (geratriz) da piramide... pelo que entendi, tenho que achar a área do triangulo isóceles formado pela secção meridional, já que se trata de um cone reto. Já temos a altura (4), precisamos do diametro da base do cone e a unica informação que se tem é esse apótema (5).

[jorgeluis]

se,
\(a=apotema\)
raio do cone (r) = lado da base da pirâmide (l) (hexagono regular é formado por triângulos equiláteros)
\(r=l\)
então,
\(r^2=a^2+\left ( \frac{r}{2} \right )^2
r^2=5^2+\frac{r^2}{4}
r^2-\frac{r^2}{4}=5^2
\frac{3r^2}{4}=5^2\)
colocando raiz em toda a equação, temos:
\(r\sqrt{3}=10
r=\frac{10\sqrt{3}}{3}\)

[Rodrigues1964]

Boa tarde jorgeluis, o apotema que devo levar em consideração nesse caso é o da base ou da lateral?

Apartir do \(\frac{3r^{2}}{4}=5^2\) já não entendi sua resolução poderia esclarecer?

[Baltuilhe]

Boa noite!

Pelo enunciado o apótema é da pirâmide, no caso, altura de uma das faces laterais, 5.
A altura da pirâmide será coincidente com a altura do cone, portanto, 4.
Podemos calcular o apótema da base (a):
\(5^2=4^2+a^2
25=16+a^2
a^2=25-16
a^2=9
a=3\)

Agora, como este apótema é a altura de um triângulo retângulo, podemos calcular o raio da base (lado do hexágono):
\(a=\dfrac{R\sqrt{3}}{2}
3=\dfrac{R\sqrt{3}}{2}
R\sqrt{3}=6
R=\dfrac{6}{\sqrt{3}}
R=\dfrac{6\sqrt{3}}{3}
R=2\sqrt{3}\)

Agora que temos o raio da base, temos o diâmetro desta:
\(D=2R
D=4\sqrt{3}\)

A área da seção meridiana do cone:
\(A=\dfrac{D\cdot h}{2}
A=\dfrac{4\sqrt{3}\cdot 4}{2}
A=8\sqrt{3}\)

Espero ter ajudado!

[Rodrigues1964]

Baltuilhe, entendi sua resolução, não entendi só uma parte, aquela em que estamos calculando o raio:

\(R=\frac{6}{\sqrt{3}}\)

\(R=\frac{6\sqrt{3}}{3}\)

[Baltuilhe]

Baltuilhe, entendi sua resolução, não entendi só uma parte, aquela em que estamos calculando o raio:

\(R=\frac{6}{\sqrt{3}}\)

\(R=\frac{6\sqrt{3}}{3}\)

Seria usar racionalização, que consiste em se multiplicar o numerador e o denominador por um mesmo valor (já que dividindo um pelo outro dá 1, e multiplicar por 1 não altera o valor original)
\(\frac{6}{\sqrt{3}}
\dfrac{6}{\sqrt{3}}\cdot\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}
\dfrac{6\sqrt{3}}{\left(\sqrt{3}\right)^2}
\dfrac{6\sqrt{3}}{3}
2\sqrt{3}\)

Espero ter melhorado a solução!

[Rodrigues1964]

Sim, no caso anulamos a potencia com a raiz dentro dos parenteses no denominador?