Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Se \(sen \, x + sen \, y = \frac{1}{2}\) e \(cos \, x + cos \, y = \frac{3}{4}\)

Determine \(13 \cdot cos \, (x + y)\).

Aqui vai uma possibilidade ( deve haver uma forma mais elegante, mas esta funciona ... ). Sabemos que:
1. \(\sin x + \sin y = 2 \cos\left(\frac{x-y}{2}\right) \sin \left(\frac{x+y}{2}\right)\)
2. \(\cos x + \cos y = 2 \cos\left(\frac{x-y}{2}\right) \cos \left(\frac{x+y}{2}\right)\)
3. \(1+\tan^2\left(\frac{x+y}{2}\right) = \frac{1}{\cos^2\left(\frac{x+y}{2}\right)}\)
4. \(\cos(x+y) = 2 \cos^2\left(\frac{x+y}{2}\right)-1\)

Usando as igualdades (1), (2) juntamente com os dados do problema obtemos \(\tan\left( \frac{x+y}{2}\right) = \frac{2}{3}.\)
Usando agora (3) ficamos com

\(\cos^2\left(\frac{x+y}{2} \right) = \frac{9}{13}.\)

Finalmente, usando (4), teremos que

\(13 \cos(x+y) = 13 (2 \cos^2\left( \frac{x+y}{2}\right) -1) = 13 (2 \times 9/13 -1) =5\).