Demonstração da fórmula trigonométrica

[Man Utd]

No meu livro pede-se para provar a fórmula \(cos2\Theta =\frac{A-C}{A1-C1}\),sabendo que \(tg2\Theta =\frac{B}{A-C}\) e também sabendo que:

\(\\\\ A1=A*(cos\Theta )^{2}+B.sen\Theta .cos\Theta +C*(sen\Theta )^{2} \\\\ C1=A*(sen\Theta )^{2}-B.sen\Theta .cos\Theta +C*(cos\Theta )^{2}\)

não consiguo demonstrar a fórmula,alguém pode me ajudar?

[João P. Ferreira]

Não sei se ajuda, mas lembre-se que

\(\cos (2\theta)=\cos^2 \theta-sen^2\theta\)

lembre-se que \(sen^2\theta+\cos^2 \theta=1\)

e que

\(\tan (2\theta)=\frac{sen (2\theta)}{\cos (2\theta)}\)

\(A1\) parece ser um caso notável

\(A1=(\sqrt{A}\cos\theta + \sqrt{C}sen \theta)^2\)

onde \(B=2\sqrt{A}\sqrt{C}\)

e

\(C1=(\sqrt{A}\cos\theta - \sqrt{C}sen \theta)^2\)

[João P. Ferreira]

repare ainda que

\(A1-C1=A*(cos\Theta )^{2}+B.sen\Theta .cos\Theta +C*(sen\Theta )^{2}-(A*(sen\Theta )^{2}-B.sen\Theta .cos\Theta +C*(cos\Theta )^{2})=\)

\(=A((cos\Theta )^{2}-(sen\Theta )^{2})-C((cos\Theta )^{2}-(sen\Theta )^{2})+2Bsen\Theta .cos\Theta=A cos(2\Theta)-C\cos (2\Theta)+B sen (2\Theta)=(A-C)\cos (2\Theta)+B sen (2\Theta)\)

[Man Utd]

olá. esta última expressão eu já tinha conseguido chegar nela é daí que não consigo prosseguir.
\(A1-C1=(A-C)cos2\Theta+Bsen2\Theta\)

[João P. Ferreira]

sabendo que \(tg 2\Theta =\frac{sen 2\Theta}{cos 2\Theta}=\frac{B}{A-C}\)

então \(A-C=\frac{B}{tg 2\Theta}\)

então

\(A1-C1=(A-C)cos 2\Theta+B sen 2\Theta\)

ora pede-se para demonstrar que

\(\cos 2\Theta=\frac{A-C}{A1-C1}\)

substituindo em cima \(A1-C1\) pelo aquilo que já sabemos

\(\cos 2\Theta=\frac{A-C}{(A-C)cos 2\Theta+B sen 2\Theta}\)

invertendo dos dois lados

\(\frac{1}{\cos 2\Theta}=\frac{(A-C)cos 2\Theta+B sen 2\Theta}{A-C}\)

\(\frac{1}{\cos 2\Theta}=cos 2\Theta+\frac{B sen 2\Theta}{A-C}=cos 2\Theta+\frac{B sen 2\Theta}{\frac{B}{tg 2\Theta}}=cos 2\Theta+tg 2\Theta sen 2\Theta\)

de

\(\frac{1}{\cos 2\Theta}=cos 2\Theta+tg 2\Theta sen 2\Theta=cos 2\Theta+\frac{sen 2\Theta}{cos 2\Theta} sen 2\Theta\)

multiplicamos em ambos os lados por \(\cos 2\Theta\)

\(1=cos^2 2\Theta+sen^2 2\Theta\)

\(1=1\)

c.q.d