Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Resolver problema de construção de triangulo

Bom dia!

Vou deixar a resposta em forma de desenho (e explicação).


Espero que entenda

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Baltuilhe
"Nós somos o que fazemos repetidamente. Excelência, então, não é um modo de agir, é um hábito." Aristóteles

Esse triângulo é retângulo, mas conhecido como triangulo 3, 4 e 5.

onde:

a = 4 cateto oposto ao angulo \(\alpha\), 3 cateto adjacente e 5 hipotenusa )

\(\alpha\) = cateto adjacente / hipotenusa = 3/5

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Vivemos em um mundo onde toda informação é falsa até que se prove o contrário.
A Verdade está a caminho.

Boa tarde!

Jorge, você está equivocado com relação à afirmação de que o triângulo é retângulo.

Este triângulo, realmente, PODERIA ser retângulo caso o ângulo alfa dado fosse \(\alpha=\arccos{\left(\frac{3}{5}\right)}\approx{53^{\circ}7'}.\)

Na verdade este ângulo alfa pode ser qualquer valor maior do que 0º e menor do que 180º.

Espero ter ajudado!

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Baltuilhe
"Nós somos o que fazemos repetidamente. Excelência, então, não é um modo de agir, é um hábito." Aristóteles

corrigindo...

cos \(\alpha\) = 3/5

Baltuilhe,
acredito que dessa vez você esteja enganado, pois, se a questão afirma que a razão entre os outros dois lados é 3/5, quaisquer que sejam seus valores serão proporcionais a essas medidas, além disso, a afirmação de que a é oposto ao angulo \(\alpha\) deixa claro a existência de um lado adjacente ao angulo \(\alpha\) e uma hipotenusa. Se usarmos o teorema de pitágoras verificamos o pressuposto, veja:

3/5 = 6/10 = 9/15 = 12/20 = ... = 0,6

5² = a² + 3²
a = 4

10² = a² + 6²
a = 8

15² = a² + 9²
a = 12

20² = a² + 12²
a = 16

resumindo o lado a sempre será obtido por pitágoras e o ângulo \(\alpha\) sempre será a razão entre um dos catetos e a hipotenusa.
de outra forma, com que finalidade a questão me daria a razão entre dois lados e um ângulo, a não ser para descobrir o terceiro lado e valor desse ângulo.

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Boa noite!

Jorge, veja os exemplos abaixo:
a=3
b=3
c=5

Então, temos um triângulo com dois lados iguais a 3, e existem os lados b e c na proporção de 3:5, certo?
Calculemos o ângulo oposto ao lado a (já que o ângulo alfa está entre os lados b e c, ok?)
\(a^2=b^2+c^2-2bc\cos(\alpha)\\
\cos(\alpha)=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\\
\cos(\alpha)=\frac{3^2+5^2-3^2}{2(3)(5)}\\
\cos(\alpha)=\frac{25}{30}\\
\alpha\approx{33,6^{\circ}}\)

Poderíamos ter também o seu triângulo, claro:
a=4
b=3
c=5

O ângulo alfa seria, pela lei dos cossenos:
\(\cos(\alpha)=\frac{3^2+5^2-4^2}{2(3)(5)}=\frac{18}{30}=\frac{3}{5}\)

Ou diretamente, sabendo-se tratar de um triângulo retângulo:
\(\cos(\alpha)=\frac{3}{5}\\
\alpha\approx{53,13^{\circ}}\)

Outro exemplo (último):
a=5
b=3
c=5

Aqui teremos (faça as contas) o ângulo alfa igual a:
\(\cos(\alpha)=\frac{3}{10}
\alpha\approx{72,54^{\circ}}\)

Se analisar, o lado a está na seguinte faixa de valores:
5-3<a<5+3
2<a<8

Não se convenceu?

Deixo aqui também os desenhos, claro!


Espero ter ajudado (e esclarecido)!

Obrigado por sempre colaborar! Abraços!

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Baltuilhe
"Nós somos o que fazemos repetidamente. Excelência, então, não é um modo de agir, é um hábito." Aristóteles

Baltuilhe,
acredito não fazer sentido \(\Delta\) isósceles nessa questão, uma vez subentendido a existência de 3 lados distintos ax, 3x, 5x. Assim como, a existência de um ângulo \(\alpha\) obtido através desse mesmo \(\Delta\). Todavia, sua verificação está correta.
Espero que o autor da questão ratifique o raciocínio e a resolução.

Baltuilhe,
Admiro seu modo de ver as questões e testificá-las através de provas e demonstrações.
Mas, algumas questões são dedutíveis e às vezes fáceis de saber a pretensão do autor. Acredito que nesta questão, em particular, o autor queira que o aluno enxergue pitágoras e as relações básicas de trigonometria.

De qualquer forma te agradeço pelas verificações.

Abraço meu amigo.

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A Verdade está a caminho.

Seja a² = b² + c² - 2.b.c.cos q, com a e q conhecidos.
Sabemos também que b/c = 3/5
Assim, a² = 9c²/25 + c² - 2.3c²/5.cos q
Daí, c² = 2,5a²/(17/5 - 3.cosq)
Como a e q são conhecidos, então determinamos c, e, em seguida, determinamos b.
Se q = 90 e a = 10, então c = 8,575 e b = 5,145

Boa tarde!

ProfessorHelio, obrigado pela contribuição!
Foi interessante isolar um dos lados em função do lado dado e assim resolver o sistema!

Mas algo importante a ser levado em consideração sobre esta questão é que ela é de desenho geométrico, ou seja, é para resolver desenhando, mesmo!
A solução algébrica não seria uma solução válida para este problema!
Me utilizei do algebrismo para mostrar ao colega JorgeLuiz que a solução por ele apresentada não estaria correta a não ser que o ângulo fosse o que apresentei, 53 graus e pouco.

Abraços! E obrigado!

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Baltuilhe
"Nós somos o que fazemos repetidamente. Excelência, então, não é um modo de agir, é um hábito." Aristóteles

eu posso determinar essa proporção traçando uma reta r e uma reta s oblíqua à r, marcar segmentos proporcionais em s e transpô-los à r?
Segue imagem para visualização.