Dúvida quanto a curva na integral de linha
06 jun 2016, 14:44
Prezados, estou com dúvida na questão em anexo. Não sei como aplicar a integral ao longo da curva, alguém poderia resolver essa questão? Obrigado.
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Re: Dúvida quanto a curva na integral de linha
06 jun 2016, 20:47
Precisamos de um caminho fechado simples \(C:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}^{2}\) com área limitada por ele conhecida e que seja fácil de calcular a integral, vamos usar uma circunferência com centro na origem e raio 1 (área=\(\pi\)).
Uma parametrização com sentido anti-horário é \(\gamma(t)=(cos(2\pi t),sen(2\pi t)) \Rightarrow {\gamma}\, '(t)=2\pi(-sen(2\pi t),cos(2 \pi t))\, , \,0\leq t\leq 1\).
Então:
\(\int_{0}^{1}F(\gamma (t))\cdot \gamma \, {}'(t) dt=\pi\Rightarrow \int_{0}^{1}(a.cos(2\pi t)+b.sen(2\pi t),c.cos(2\pi t)+d.sen(2\pi t))\cdot 2\pi(-sen(2\pi t),cos(2 \pi t))dt=\pi\).
Como \(sen(u)cos(u)=\frac{sen(2u)}{2}\), os produtos que envolvem a e d vão ser cancelados, pois se trata de integrações em um número inteiro de períodos de uma função senoidal.
Das relações: \(sen^{2}(u)=\frac{1-cos(2u)}{2} \: ;cos^{2}(u)=\frac{1+cos(2u)}{2}\) e da observação acima, os proutos com b e c, depois de integrados resultam em
\(-\pi.b+\pi.c=\pi\)
Então a alternativa correta é A
Uma parametrização com sentido anti-horário é \(\gamma(t)=(cos(2\pi t),sen(2\pi t)) \Rightarrow {\gamma}\, '(t)=2\pi(-sen(2\pi t),cos(2 \pi t))\, , \,0\leq t\leq 1\).
Então:
\(\int_{0}^{1}F(\gamma (t))\cdot \gamma \, {}'(t) dt=\pi\Rightarrow \int_{0}^{1}(a.cos(2\pi t)+b.sen(2\pi t),c.cos(2\pi t)+d.sen(2\pi t))\cdot 2\pi(-sen(2\pi t),cos(2 \pi t))dt=\pi\).
Como \(sen(u)cos(u)=\frac{sen(2u)}{2}\), os produtos que envolvem a e d vão ser cancelados, pois se trata de integrações em um número inteiro de períodos de uma função senoidal.
Das relações: \(sen^{2}(u)=\frac{1-cos(2u)}{2} \: ;cos^{2}(u)=\frac{1+cos(2u)}{2}\) e da observação acima, os proutos com b e c, depois de integrados resultam em
\(-\pi.b+\pi.c=\pi\)
Então a alternativa correta é A