Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

No exemplo:
Calcule \(\int_{C} 2x ds\), onde C é formada pelo arco \(c_{1}\):y=x² de (0,0) a (1,1) e pelo segmento \(c_{2}\) uma reta vertical de (1,1) a (1,2).

Resolução:

Para \(c_{1}\):
Escolhendo x como parâmetro, temos C=> x = x e y = x². Com x\(\in\)[0,1]. Portanto,

\(\int_{C}\)f(x,y) ds = \(\int_{a}^{b}\)f(x,y)\(\sqrt({(\frac{dx}{dx})^{2}}+(\frac{dy}{dx})^{2})\)

e a resolução continua...

E depois, para c2, como parâmetro para y foi escolhido C => x = 1 e y = y ; y \in [1,2].

Minha duvida está apenas na parte em vermelho. Como assim x = x e y = x² e x = 1 e y = y ??? Como ele escolheu estes parâmetros?

Acho que o problema está apenas na notação. Ao definir a parametrização de um caminho parece-me preferível não usar nenhuma das variáveis originais.

O caminho C1 corresponde aos pontos da parábola \(y = x^2\) entre (0,0) e (1,1). Todos os pontos dessa curva são da forma

\(\gamma_1(t)=(t , t^2), \quad t \in [0,1]\)

Quando t = 0 estamos no ponto (0,0), quando t=1 estamos no ponto (1,1) e para valores de t entre 0 e 1 estamos algures entre os dois pontos (mas sobre a curva).

Do mesmo modo, para o caminho C2, todos os pontos do segmento são da forma

\(\gamma_2(t)= (1 , t),\quad t\in [1,2]\).

Escolhidas as parametrizações dos caminhos, podem ser calculados os integrais. Considerando f(x,y)=2x,
\(\int_{C_1} f(x,y) ds = \int_0^1 f(\gamma_1(t)) \cdot |\gamma_1'(t)|dt = \int_0^1 2t \sqrt{1+4t^2}\,dt = \left[ \frac 14 \frac{(1+4t^2)^{3/2}}{3/2}\right]_0^1 = \frac{1}{6} \left(5 \sqrt{5}-1\right)\)

\(\int_{c_2} f(x,y) ds = \int_1^2 f(\gamma_2(t)) \cdot |\gamma_2'(t)| dt = \int_1^2 1 \cdot 1 dt = 1\).

Agora compreendi. Obrigado, Sobolev.