Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

\(\int_{C} (|x|+|y|) ds\) , onde \(C\) é o retângulo formado pelas retas \(x=0\) , \(x=4\) , \(y=-1\) e \(y=1\).

Gabarito:





Tentativa:

\(\text{ x , se x \geq 0 \\\\ -x,se x<0}\)

e

\(\text{y,se y \geq 0 \\\\ -y,se y<0 }\)


\(\text{C_{1}=[x=0,x=4,y=-1, y=0]}\)

\(\text{C_{2}=[x=0,x=4,y=0, y=1 ]}\)

então:

\(\int_{C_{1}}(x-y) ds+\int_{C_{2}}(x+y)ds\)

Dúvida: Aqui vemos que se trata de uma integral dupla,os exercícios que já resolvir eram sempre integrais simples,como proceder agora?


att e cumprimentos

O integral de linha só pode depender de um parâmetro.

Repare que em cada segmento, 1 das duas variáveis é de facto constante, ou seja, em cada troço, podemos considerar que temos só uma variável.
E não se esqueça que temos 4 "caminhos" a parametrizar, não dois!

primeiro (t,-1), com t entre 0 e 4... a função passa a ser t+|-1| = t+1
segundo (4,t), com t entre -1 e 1............... 4+|t|, tem de dividir o integral entre t>0 e t<0
terceiro (t,1), com t entre 4 e 0 ...........................t+1
quarto (0,t), com t entre 1 e -1............................|t|, tem de dividir o integral em dois para calcular

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José Sousa
_{se gostou da resposta, divulgue o fórumdematemática.org}

O Binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo.
O que há é pouca gente para dar por isso.

óóóó---óóóóóó óóó---óóóóóóó óóóóóóóó
(O vento lá fora.)

Álvaro de Campos, 15-1-1928

Em todos os casos teremos : \(|| \lambda'(t) ||=1\)

\(\int_{0}^{4} t+1 dt +\int_{-1}^{1} 4+|t| dt + \left | \int_{4}^{0} t+1 dt \right | +\left | \int_{1}^{-1} |t| dt \right |\)


\(\\\\\\ \int_{0}^{4} (t+1) dt +\int_{-1}^{0} (4-t) dt + \int_{0}^{1} (4+t) dt + \left | \int_{4}^{0} (t+1) dt \right | +\left | \int_{1}^{0} t dt + \int_{0}^{-1} -t dt \right |\)


\(12 + 9 + \left| -12 \right |+ \left | -1 \right |\)

\(\fbox {\fbox {\fbox{34}}}\)


Muito Obrigado amigo Josésousa :D , esclareceu muitas dúvidas sobre este assunto.

abraços e att.

De nada! Já vi que ajudou pela resolução que tem

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José Sousa
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Álvaro de Campos, 15-1-1928