Integral de Linha [resolvida]
16 nov 2013, 04:01
\(\int_{C} (|x|+|y|) ds\) , onde \(C\) é o retângulo formado pelas retas \(x=0\) , \(x=4\) , \(y=-1\) e \(y=1\).
Gabarito:
Tentativa:
\(\text{ x , se x \geq 0 \\\\ -x,se x<0}\)
e
\(\text{y,se y \geq 0 \\\\ -y,se y<0 }\)
\(\text{C_{1}=[x=0,x=4,y=-1, y=0]}\)
\(\text{C_{2}=[x=0,x=4,y=0, y=1 ]}\)
então:
\(\int_{C_{1}}(x-y) ds+\int_{C_{2}}(x+y)ds\)
Dúvida: Aqui vemos que se trata de uma integral dupla,os exercícios que já resolvir eram sempre integrais simples,como proceder agora?
att e cumprimentos
Gabarito:
Spoiler:
Tentativa:
\(\text{ x , se x \geq 0 \\\\ -x,se x<0}\)
e
\(\text{y,se y \geq 0 \\\\ -y,se y<0 }\)
\(\text{C_{1}=[x=0,x=4,y=-1, y=0]}\)
\(\text{C_{2}=[x=0,x=4,y=0, y=1 ]}\)
então:
\(\int_{C_{1}}(x-y) ds+\int_{C_{2}}(x+y)ds\)
Dúvida: Aqui vemos que se trata de uma integral dupla,os exercícios que já resolvir eram sempre integrais simples,como proceder agora?
att e cumprimentos
Re: Integral de Linha
18 nov 2013, 00:12
O integral de linha só pode depender de um parâmetro.
Repare que em cada segmento, 1 das duas variáveis é de facto constante, ou seja, em cada troço, podemos considerar que temos só uma variável.
E não se esqueça que temos 4 "caminhos" a parametrizar, não dois!
primeiro (t,-1), com t entre 0 e 4... a função passa a ser t+|-1| = t+1
segundo (4,t), com t entre -1 e 1............... 4+|t|, tem de dividir o integral entre t>0 e t<0
terceiro (t,1), com t entre 4 e 0 ...........................t+1
quarto (0,t), com t entre 1 e -1............................|t|, tem de dividir o integral em dois para calcular
Repare que em cada segmento, 1 das duas variáveis é de facto constante, ou seja, em cada troço, podemos considerar que temos só uma variável.
E não se esqueça que temos 4 "caminhos" a parametrizar, não dois!
primeiro (t,-1), com t entre 0 e 4... a função passa a ser t+|-1| = t+1
segundo (4,t), com t entre -1 e 1............... 4+|t|, tem de dividir o integral entre t>0 e t<0
terceiro (t,1), com t entre 4 e 0 ...........................t+1
quarto (0,t), com t entre 1 e -1............................|t|, tem de dividir o integral em dois para calcular
Re: Integral de Linha
18 nov 2013, 21:16
Em todos os casos teremos : \(|| \lambda'(t) ||=1\)
\(\int_{0}^{4} t+1 dt +\int_{-1}^{1} 4+|t| dt + \left | \int_{4}^{0} t+1 dt \right | +\left | \int_{1}^{-1} |t| dt \right |\)
\(\\\\\\ \int_{0}^{4} (t+1) dt +\int_{-1}^{0} (4-t) dt + \int_{0}^{1} (4+t) dt + \left | \int_{4}^{0} (t+1) dt \right | +\left | \int_{1}^{0} t dt + \int_{0}^{-1} -t dt \right |\)
\(12 + 9 + \left| -12 \right |+ \left | -1 \right |\)
\(\fbox {\fbox {\fbox{34}}}\)
Muito Obrigado amigo Josésousa :D , esclareceu muitas dúvidas sobre este assunto.
abraços e att.
\(\int_{0}^{4} t+1 dt +\int_{-1}^{1} 4+|t| dt + \left | \int_{4}^{0} t+1 dt \right | +\left | \int_{1}^{-1} |t| dt \right |\)
\(\\\\\\ \int_{0}^{4} (t+1) dt +\int_{-1}^{0} (4-t) dt + \int_{0}^{1} (4+t) dt + \left | \int_{4}^{0} (t+1) dt \right | +\left | \int_{1}^{0} t dt + \int_{0}^{-1} -t dt \right |\)
\(12 + 9 + \left| -12 \right |+ \left | -1 \right |\)
\(\fbox {\fbox {\fbox{34}}}\)
Muito Obrigado amigo Josésousa :D , esclareceu muitas dúvidas sobre este assunto.
abraços e att.
Re: Integral de Linha
20 nov 2013, 00:45
De nada! Já vi que ajudou pela resolução que tem