Derivada direcional

[danjr5]

Estou iniando em cálculo integral favor me ajudar:
A derivada direcional da função \(f(x,y) = 2y e^x\) em \(P(0,4)\) na direção do vetor \(v = 3i - 2j\) é:
O gabarito dá como resposta: \(\frac{20}{\sqrt13}\)

Editado pela última vez por danjr5 em 13 jun 2012, 02:14, num total de 1 vez.
Razão: Arrumar Latex

[danjr5]

Inicialmente, devemos calcular o Gradiente no ponto P.
\(\bigtriangledown f(x,y) = \frac{\partial f}{\partial x}i + \frac{\partial f}{\partial y}j\)

Como \(f(x,y) = 2ye^x\), temos:
\(\frac{\partial f}{\partial x} = 2ye^x\)

e

\(\frac{\partial f}{\partial y} = 2e^x\)

Daí,
\(\bigtriangledown f(x,y) = 2ye^xi + 2e^xj\)

\(\bigtriangledown f(0,4) = 8i + 2j\)

Pastorpj,
note que v não é um vetor unitário, então:
\(u = \frac{v}{|v|} ====> u = \frac{3}{\sqrt{13}}i - \frac{2}{\sqrt{13}}j\)

Por fim, temos que
\(D_uf(x,y) = \bigtriangledown f(x,y) . u\)

\(D_uf(0,4) = (8i + 2j).\left(\frac{3}{\sqrt{13}}i - \frac{2}{\sqrt{13}}j\right)\)

\(D_uf(0,4) = \left(\frac{24}{\sqrt{13}}i - \frac{4}{\sqrt{13}}j\right)\)

\(D_uf(0,4) = \frac{20}{\sqrt{13}}\)

Espero ter ajudado!!

Comente qualquer dúvida.


Daniel

[Claudete]

Como ajudou.
Muito obrigado

[danjr5]

Não há de quê!