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Integral de superfície de campos vetorias https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=26&t=538 |
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Autor: | danjr5 [ 29 jun 2012, 02:24 ] |
Título da Pergunta: | Integral de superfície de campos vetorias |
Olá amigos, boa noite! Tenho algumas dúvidas que estão me impedindo de dar prosseguimento no assunto. - Como identificar a fórmula (representação paramétrica ou representação explícita) para calcular a integral? Segue uma questão que tentei resolver por representação paramétrica, mas acho (com certeza) que está errada! danjr5 Escreveu: \(F(x,y,z) = (xz, x, y)\), S é o hemisfério \(x^2 + y^2 + z^2 = 25, y \geq 0\), orientado na direção do eixo y positivo. Como \(y \geq 0\), concluí que \(y = \sqrt{25 - x^2 - z^2}\). \(F(x,y,z) = (xz, x, y) =======> F(\varphi(x,z)) = (xz, x, \sqrt{25 - x^2 - y^2})\) A normal é dada por \(n = \frac{\frac{\partial y}{\partial x}i + \frac{\partial y}{\partial z}j - 1k}{\sqrt{\left ( \frac{\partial y}{\partial x} \right )^2 + \left ( \frac{\partial y}{\partial z}\right )^2 + 1}}\), pois a orientação é para 'dentro'. \(\frac{\partial y}{\partial x} = - \frac{x}{\sqrt{25 - x^2 - z^2}}\) \(\frac{\partial y}{\partial z} = - \frac{z}{\sqrt{25 - x^2 - z^2}}\) \(\int \int_{S}^{} F dS = \int \int_{D}^{} (xz, x, \sqrt{25 - x^2 - y^2})\left ( \frac{- x}{\sqrt{25 - x^2 - z^2}} ,\frac{- z}{\sqrt{25 - x^2 - z^2}}, - 1 \right)dA\) \(\int \int_{S}^{} F dS = \int_{}^{} \int_{D}^{} \frac{x^2z}{\sqrt{25 - x^2 - z^2}} - \frac{xz}{\sqrt{25 - x^2 - z^2}} - 1dA\) Pensei numa Mudança Polar: \(x = r.cos\theta\) \(z = r.sen\theta\) no intervalo \(0 \leq r \leq 5\) e \(0 \leq \theta \leq \pi\). Desde já agradeço! Att, Daniel F. |
Autor: | josesousa [ 29 jun 2012, 14:40 ] |
Título da Pergunta: | Re: Integral de superfície de campos vetorias |
A primeira coisa a fazer é parametrizar a superfície. Eu parametrizaria já com coordenadas esféricas, com r=5. \(H(\theta, \psi) = (5.cos\theta.cos\psi, 5 sen\theta.cos\psi, 5 sen\psi ), \theta \in \[0, \pi\], \psi \in \[0, \pi \]\) Depois, calcular \(F(H(\theta, \psi)) = (25cos\theta.sen\theta.cos^2\psi, 5.cos\theta.cos\psi, 5sen\theta.cos\psi)\) Agora temos de calcular a normal Podemos faze-lo tendo em conta o produto externo de dois vectores que parametrizem a superfície \(n =\frac{\partial{H}}{\partial \theta}\times\frac{\partial{H}}{\partial \psi}\) e calculamos a norma unitária \(\hat{n} = n/||n||\), tendo o cuidado de multiplicar por -1 se a orientação não estiver de acordo com o problema. Isso resultará no vector \(\hat{n}\). Agora o integral a calcular é \(\int_0^\pi \int_0^\pi F(H(\theta, \psi)).\hat{n} d\theta d\psi\) Não vou agora escrever os cálculos numéricos, mas espero que ajude! |
Autor: | danjr5 [ 01 jul 2012, 12:31 ] |
Título da Pergunta: | Re: Integral de superfície de campos vetorias |
\(x = 5.sen\phi .cos\theta\) \(y = 5.sen\phi .sen\theta\) \(z = 5.cos\phi\) \(\sigma (\phi ,\theta ) = (5.sen\phi .cos\theta ,5.sen\phi .sen\theta ,5.cos\phi ), 0 \leq \phi \leq \pi, 0\leq \theta \leq \pi\) \(F(\sigma (\phi ,\theta )) = (25.sen\phi .cos\phi .cos\theta ,5.sen\phi .cos\theta ,5.sen\phi.sen\theta )\) \(n = \frac{\partial \sigma }{\partial \phi }\times \frac{\partial \sigma }{\partial \theta }======> n = (25.sen^2\phi .cos\theta ,25.sen^2\phi .sen\theta ,25.sen\phi .cos\phi )\) Segue que \(\int \int_{S}^{}F.dS = \int_{0}^{\pi }\int_{0}^{\pi }F(\sigma (\phi ,\theta )).\left (\frac{\partial \sigma }{\partial \phi }\times \frac{\partial \sigma }{\partial \theta } \right )d\phi d\theta\) = \(\int_{0}^{\pi }\int_{0}^{\pi }(625.sen^3\phi .cos\phi .cos^2\theta + 125.sen^3\phi .sen\theta .cos\theta + 125.sen^2\phi .sen\theta .cos\phi ) d\phi d\theta\) ... = 0 |
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