Integral de superfície de campos vetorias - 2

[danjr5]

\(F(x,y,z) = xi - zj + yk\), S é a parte da esfera \(x^2 + y^2 + z^2 = 4\) no primeiro octante com orientação para a origem.

1º octante:

\(x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0\)

Isolando z, temos: \(z = \sqrt{4 - x^2 - y^2}\)

\(F(x,y,z) = (x,-z,y) =====> F(\varphi(x,y)) = (x,- \sqrt{4 - x^2 - y^2},y)\)

O versor normal é dado por \(n = \frac{\frac{\partial z}{\partial x}i + \frac{\partial z}{\partial y}j - 1k}{\sqrt{\left ( \frac{\partial z}{\partial x} \right )^2 + \left ( \frac{\partial z}{\partial y} \right )^2 + 1}}\)

Gostaria de saber se meu raciocínio está correto?

Desde já agradeço!

Daniel F.

[josesousa]

O único comentário que posso fazer é que não percebo, tal como no outro problema que pôs, onde arranjou essa expressão para calcular a norma exterior.

[danjr5]

Olá José sousa,
boa tarde!!

De acordo com o livro que estou estudando, a normal pode ser obtida aplicando aquela fórmula, desde que a equação esteja representada de forma explícita, como exemplo, \(z = 1 - x^2 - y^2\)

No entanto, quando a equação é representada parametricamente, a norma é dada por \(n = \frac{\frac{\partial \sigma }{\partial \phi } \times \frac{\partial \sigma }{\partial \theta }}{\left |{\frac{\partial \sigma }{\partial \phi } \times \frac{\partial \sigma}{\partial \theta }} \right |}\)