Parametrização de curvas e cálculo de massa

[Heinzen]

Bom dia, tenho o seguinte problema à resolver:

Um arame tem a forma do arco da parábola \(y=6x^2\) \((0\leq x\leq 1/6 )\). Se a densidade no ponto (x,y) é sua distância do eixo y, calcule a massa desse arame.

Alguem poderia me dar uma ajuda para parametrizar a curva e se possivel dar uma breve explicada no processo?

[Man Utd]

Olá :D


A massa é dada pela integral de linha de um campo escalar da função densidade : \(M=\int_{C} \; \delta(x) \; ds\), onde \(\delta(x)\) representa a função densidade.

Se a densidade no ponto (x,y) é sua distância do eixo y

a função densidade é simplesmente "x", pois "x" representa a distância da função densidade até o eixo y.Então a integral de linha a ser resolvida é:

\(M=\int_{C} \; x \; ds\)

Continuando:


Para parametrizar é simples :

\(x=t\)
\(y=6t^2\)

com isso usamos a msm variação que o exercício forneceu : \(0 \leq t \leq \frac{1}{6}\) , como \(\vec{\lambda^{\prime}(t)}=(t,6t^2)\) , então : \(||\vec{\lambda^{\prime}(t)}||=\sqrt{t^2+36t^4}\), então bastar resolver a integral:


\(M=\int_{0}^{\frac{1}{6}} \; t*\sqrt{t^2+36t^4} \; dt\)


\(M=\int_{0}^{\frac{1}{6}} \; t^2*\sqrt{1+36t^2} \; dt\)


Tente concluir,se tiver dúvidas poste,

[Heinzen]

Olá, entendi as partes mas gostaria de confirmar. Meu professor multiplas vezes resolveu \(|{\lambda}'| = \sqrt{{x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}\)


Tenho diversos exercícios com o mesmo processo. Gostaria de confirmar o método

[Man Utd]

Olá, entendi as partes mas gostaria de confirmar. Meu professor multiplas vezes resolveu \(|{\lambda}'| = \sqrt{{x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}\)


Tenho diversos exercícios com o mesmo processo. Gostaria de confirmar o método

Sim esse é o msm metódo, veja que uma integral de linha é na verdade : \(\int_{C} \; f(x,y) \; ds=\int_{t_{0}}^{t_{1}} \; f(\lambda(t))*||\lambda^{\prime}(t)|| \; dt\)