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Parametrização de curvas e cálculo de massa https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=26&t=5871 |
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Autor: | Heinzen [ 26 abr 2014, 17:59 ] |
Título da Pergunta: | Parametrização de curvas e cálculo de massa |
Bom dia, tenho o seguinte problema à resolver: Um arame tem a forma do arco da parábola \(y=6x^2\) \((0\leq x\leq 1/6 )\). Se a densidade no ponto (x,y) é sua distância do eixo y, calcule a massa desse arame. Alguem poderia me dar uma ajuda para parametrizar a curva e se possivel dar uma breve explicada no processo? |
Autor: | Man Utd [ 26 abr 2014, 23:21 ] |
Título da Pergunta: | Re: Parametrização de curvas e cálculo de massa |
Olá :D A massa é dada pela integral de linha de um campo escalar da função densidade : \(M=\int_{C} \; \delta(x) \; ds\), onde \(\delta(x)\) representa a função densidade. Heinzen Escreveu: Se a densidade no ponto (x,y) é sua distância do eixo y a função densidade é simplesmente "x", pois "x" representa a distância da função densidade até o eixo y.Então a integral de linha a ser resolvida é: \(M=\int_{C} \; x \; ds\) Continuando: Para parametrizar é simples : \(x=t\) \(y=6t^2\) com isso usamos a msm variação que o exercício forneceu : \(0 \leq t \leq \frac{1}{6}\) , como \(\vec{\lambda^{\prime}(t)}=(t,6t^2)\) , então : \(||\vec{\lambda^{\prime}(t)}||=\sqrt{t^2+36t^4}\), então bastar resolver a integral: \(M=\int_{0}^{\frac{1}{6}} \; t*\sqrt{t^2+36t^4} \; dt\) \(M=\int_{0}^{\frac{1}{6}} \; t^2*\sqrt{1+36t^2} \; dt\) Tente concluir,se tiver dúvidas poste, |
Autor: | Heinzen [ 28 abr 2014, 15:20 ] |
Título da Pergunta: | Re: Parametrização de curvas e cálculo de massa |
Olá, entendi as partes mas gostaria de confirmar. Meu professor multiplas vezes resolveu \(|{\lambda}'| = \sqrt{{x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}\) Tenho diversos exercícios com o mesmo processo. Gostaria de confirmar o método |
Autor: | Man Utd [ 29 abr 2014, 00:31 ] |
Título da Pergunta: | Re: Parametrização de curvas e cálculo de massa |
Heinzen Escreveu: Olá, entendi as partes mas gostaria de confirmar. Meu professor multiplas vezes resolveu \(|{\lambda}'| = \sqrt{{x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}\) Tenho diversos exercícios com o mesmo processo. Gostaria de confirmar o método Sim esse é o msm metódo, veja que uma integral de linha é na verdade : \(\int_{C} \; f(x,y) \; ds=\int_{t_{0}}^{t_{1}} \; f(\lambda(t))*||\lambda^{\prime}(t)|| \; dt\) |
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