Como calculo essa integral curvilínea?

[Estudioso]

\(\int _{c}(3y-\sqrt{z})\,ds\), onde \(C\) é o arco de parábola \(z=y^2\) , \(x=1\) de \(A(1,\,0,\,0)\) a \(B(1,\,2,\,4)\).

Como resolvo essa integral curvilínea?

Galera, essa questão é do livro de cálculo B da Diva Flemming (capítulo 9.2)

Alguém a resolução desse exercício e pode compartilhar por favor?

Obrigado

[alod]

Parametrize a curva:
\(x = 1
y = t
z = t^2\)
Daí,
\(\int_{C}3y-sqrt{z} = \int_{0}^{2}(3t-sqrt{t^2})sqrt{(\frac{dx}{dt})^2+(\frac{dy}{dt})^2+(\frac{dz}{dt})^2}dt \\
= \int_{0}^{2} 2t sqrt{4t^2+1}dt\)
Fazendo 4t²+1 = u,
\(= \frac{1}{4}\int_{1}^{17} sqrt{u}du \\
= \frac{1}{6}u^{\frac{3}{2}} |\at{17}{u=1}
= \frac{17sqrt{17}-1}{6}\)