Fórum de Matemática | DÚVIDAS? Nós respondemos! https://forumdematematica.org/ |
|
Determinar o Vetor, sobre o plano, mais próximo de um Ponto https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=27&t=12246 |
Página 1 de 1 |
Autor: | estudante12 [ 19 jan 2017, 01:16 ] |
Título da Pergunta: | Determinar o Vetor, sobre o plano, mais próximo de um Ponto |
De entre os vectores de R3 sobre o plano x + y − z = 1 e que são ortogonais ao vector (0, 2, 0), determine o que se encontra mais próximo do ponto (1, 1, 1). Boa noite, eu não sei resolver este exercício e não encontrei outro parecido. Agradecia imenso que me ajudassem. É um exercício provável que saia no meu exame. Obrigado pela atenção! |
Autor: | Sobolev [ 19 jan 2017, 10:43 ] |
Título da Pergunta: | Re: Determinar o Vetor, sobre o plano, mais próximo de um Ponto [resolvida] |
Os pontos do plano podem ser obtidos dando a x e y todos os valores possíveis ( em R) e tomando depois z = x+y-1. De outro modo, são da forma \((t,s,t+s-1), \quad t,s, \in \mathbb{R}\) Assim, os vectores do plano que são ortogonais a (0,2,0) são os que verificam \((0,2,0) \cdot (t,s,t+s-1)= 0 \Leftrightarrow 0 + 2s + 0 {=} 0\Leftrightarrow s{=}0\) isto é, são os vectores da forma \((t,0,t-1) = (0,0,-1) + t(1,01)\). Para concluir basta determinar qual o ponto da recta que está mais próximo de (1,1,1), ou seja, queremos minimizar a distancia \(d((1,1,1); (t,0,t-1)) = \sqrt{(1-t)^2+(1-0)^2+(1-t+1)^2}\) ou, de modo equivalente, minimizar \(f(t)=(1-t)^2+(1-0)^2+(1-t+1)^2\). Ora, \(f'(t)=0 \Leftrightarrow - 2 (1-t) - 2(2-t)=0 \Leftrightarrow t = \frac 32\) Como a função é convexa sabemos que para t=3/2 atingimos um mínimo global... O ponto pretendido é pois \((\frac 32, 0, \frac 12)\) |
Página 1 de 1 | Os Horários são TMG [ DST ] |
Powered by phpBB® Forum Software © phpBB Group https://www.phpbb.com/ |