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Calcule a menor distância do ponto (0, 2) à curva de equação y = x^2 − 4. https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=27&t=13369 |
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Autor: | KrunchBr [ 16 nov 2017, 11:13 ] |
Título da Pergunta: | Calcule a menor distância do ponto (0, 2) à curva de equação y = x^2 − 4. |
Olá a todos, alguém pode me ajudar nessa questão. Calcule a menor distância do ponto (0, 2) à curva de equação y = x^2 − 4. Resposta: \sqrt{23/2} |
Autor: | Baltuilhe [ 17 nov 2017, 01:43 ] |
Título da Pergunta: | Re: Calcule a menor distância do ponto (0, 2) à curva de equação y = x^2 − 4. |
Boa noite! Eu procuraria o seguinte: Qual reta é perpendicular à equação dada passando pelo ponto (0,2)? Derivando a equação para obter a inclinação da reta tangente: \(y{=}x^2-4 y'{=}m{=}2x\) A reta perpendicular e a reta tangente mantém as seguintes relações entre elas relativamente aos coeficientes angulares: \(m.m'=-1 m.(2x)=-1 m=\dfrac{-1}{2x}\) Então, substituindo o ponto (0,2) como ponto que a reta passa e (x_0,y_0) como ponto interseção com a equação, conseguiremos calcular a interseção. Então, temos: \(y-y_0=m(x-x_0) 2-y_0=\dfrac{-1}{2x_0}\cdot(0-x_0) 2-y_0=\dfrac{1}{2} y_0=\dfrac{3}{2}\) Para obter \(x_0\), como este ponto pertence à equação: \(y=x^2-4 \dfrac{3}{2}=x_0^2-4 x_0^2=4+\dfrac{3}{2} x_0^2=\dfrac{11}{2} x_0=\pm\dfrac{\sqrt{22}}{2}\) Então, a menor distância entre o ponto (0,2) e a equação é a distância entre este ponto e o (x_0,y_0) obtidos. \(d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2} d=\sqrt{\left(\dfrac{\sqrt{22}}{2}\right)^2+\left(2-\dfrac{3}{2}\right)^2} d=\sqrt{\dfrac{22}{4}+\dfrac{1}{4}} d=\sqrt{\dfrac{23}{4}} d=\dfrac{\sqrt{23}}{2}\) Espero ter ajudado! |
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