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 Título da Pergunta: teorema de Schwarz
MensagemEnviado: 08 fev 2012, 20:11 
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Em anexo está um problema sobre este teorema no qual usa coordenadas polares.
A única coisa que eu sei é:
f=f(r,t) t=teta
A equação de Laplace em coordenadas cartesianas é d²f/dx²+d²f/dy²=0.
Uma função definida no plano é considerada em coordenadas polares como:
f(x,y)= f(r cost , r sent) => f(r,t)
coordenadas cartesianas = coordenadas polares

Pela regra da cadeia, d²f/dx² em coordenadas polares é
d/dr [df/dx dx/dr + df/dy dy/dr]
sendo df/dx = df/dr dr/dx + df/dt dt/dx
e df/dy= df/dr dr/dy + df/dt dt/dy
mas não consigo chegar a uma conclusão...alguém pode me ajudar?


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Helen Bianca Barbarini =]
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 Título da Pergunta: Re: teorema de Schwarz
MensagemEnviado: 09 fev 2012, 01:13 
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Temos \(r=\sqrt{x^2+y^2}\) e \(\theta = atan(\frac{y}{x})\)

\(df/dx = \frac{df}{dr}\frac{dr}{dx} + \frac{df}{d\theta}\frac{d\theta}{dx}\)
\(df/dx = \frac{df}{dr}\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2} } + \frac{df}{d\theta}\frac{-\frac{y}{x^2}}{1+(\frac{y}{x})^2}\)
\(df/dx = \frac{df}{dr}\frac{x}{r } + \frac{df}{d\theta}(\frac{-y}{r^2})\)
\(df/dx = \frac{df}{dr}cos(\theta) + \frac{df}{d\theta}(\frac{-sen(\theta)}{r})\)


\(df/dy = \frac{df}{dr}\frac{dr}{dy} + \frac{df}{d\theta}\frac{d\theta}{dy}\)
\(df/dy = \frac{df}{dr}\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2} } + \frac{df}{d\theta}\frac{\frac{1}{x}}{1+(\frac{y}{x})^2}\)
\(df/dy = \frac{df}{dr}\frac{y}{r } + \frac{df}{d\theta}(\frac{x}{r^2})\)
\(df/dy = \frac{df}{dr}sen(\theta)+ \frac{df}{d\theta}(\frac{cos(\theta)}{r})\)

Fazendo a segunda derivada dá o resultado..

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José Sousa
se gostou da resposta, divulgue o fórumdematemática.org

O Binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo.
O que há é pouca gente para dar por isso.

óóóó---óóóóóó óóó---óóóóóóó óóóóóóóó
(O vento lá fora.)

Álvaro de Campos, 15-1-1928


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 Título da Pergunta: Re: teorema de Schwarz
MensagemEnviado: 09 fev 2012, 01:55 
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;) muito obrigada!

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Helen Bianca Barbarini =]


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