Encontre a direção de maior crescimento da função

[Riber]

Encontre a direção de maior crescimento da função \(f(x,y)=xe^{y}-ye^{2x}\), a partir do ponto\((a,b)=(0,0)\). Além disso, determine a derivada da função nessa direção.

[Riber]

Encontre a direção de maior crescimento da função \(f(x,y)=xe^{y}-ye^{2x}\), a partir do ponto\((a,b)=(0,0)\). Além disso, determine a derivada da função nessa direção.

Pessoal,

Preciso que vocês verifiquem se meus cálculos estão corretos.
Resolvi da seguinte forma:

\(f(x,y)=xe^y-ye^{2x}\)
\(fx=e^y-ye^2\)
\({f(0,0)}={e}^{0}-{0}.{e}^{0}={1}\)

\(fy=xe^y-e^{2x}\)
\(f(0,0)=0.e^0-e^{2.0}=-1\)

\(\bigtriangledown f(0,0)=1i+(-1)j\)
\(\left | \bigtriangledown f(0,0) \right |=\sqrt{(1)^2+(-1)^2}=\sqrt{2}\)

O cálculo é esse mesmo?

[Fraol]

Boa noite,

\(f(x,y)=xe^y-ye^{2x}\)
\(fx=e^y-ye^2\)

Aqui há um bug pois: \(f_x= e^y -2ye^{2x}\)

[Riber]

Mesmo assim o resultado não vai mudar, né?

Isso porque:

\(fx=e^y-2ye^2\)

No ponto (x,y)=(0,0)

\({f(0,0)}={e}^{0}-{2}.{0}.{e}^{2}={1}\)

Continua sendo o mesmo valor, pois multiplica por zero.

Estou certo?

[Fraol]

Sim, está certo.

[Niko]

\(f(x,y)=xe^y-ye^{2x}\)

\(f'x=e^y-2ye^{2}\)
\(f_{x}(0,0)=e^0-2(0)e^{2}\)
\(f_{x}(0,0)=1-0=1\)

\(f'y=xe^y-e^{2x}\)
\(f_{y}(0,0)=0.e^0-e^{2.0}\)
\(f_{y}(0,0)=0-1=-1\)

\(\underset{U}{\rightarrow}=\frac{\bigtriangledown f(0,0)}{\left \| \bigtriangledown f(0,0) \right \|}=\frac{(1,-1)}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}=\frac{(1,-1)}{\sqrt{2}}\)
\(\underset{U}{\rightarrow}=(\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}})\)
\(\left \| \bigtriangledown f(0,0) \right \|=\sqrt{2}\)

[Niko]

\(f(x,y)=xe^y-ye^{2x}\)

\(f'x=e^y-2ye^{2}\)
\(f_{x}(0,0)=e^0-2(0)e^{2}\)
\(f_{x}(0,0)=1-0=1\)

\(f'y=xe^y-e^{2x}\)
\(f_{y}(0,0)=0.e^0-e^{2.0}\)
\(f_{y}(0,0)=0-1=-1\)

\(\underset{U}{\rightarrow}=\frac{\bigtriangledown f(0,0)}{\left \| \bigtriangledown f(0,0) \right \|}=\frac{(1,-1)}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}=\frac{(1,-1)}{\sqrt{2}}\)
\(\underset{U}{\rightarrow}=(\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}})\)
\(\left \| \bigtriangledown f(0,0) \right \|=\sqrt{2}\)

\(f'x=e^y-2ye^{2}\)
\(f_{x}(0,0)=e^0-2(0)e^{2}\)
\(f_{x}(0,0)=1-0=1\)

\(f'y=xe^y-e^{2x}\)
\(f_{y}(0,0)=0.e^0-e^{2.0}\)
\(f_{y}(0,0)=0-1=-1\)

\(\underset{U}{\rightarrow}=\frac{\bigtriangledown f(0,0)}{\left \| \bigtriangledown f(0,0) \right \|}=\frac{(1,-1)}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}=\frac{(1,-1)}{\sqrt{2}}\)
\(\underset{U}{\rightarrow}=(\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}})\)
\(\left \| \bigtriangledown f(0,0) \right \|=\sqrt{2}\)[/quote]